\(n\) を \(3\) 以上の整数とする. \(2n\) 枚のカードがあり, そのうち赤いカードの枚数は \(6\) , 白いカードの枚数は \(2n-6\) である. これら \(2n\) 枚のカードを, 箱 A と箱 B に \(n\) 枚ずつ無作為に入れる. \(2\) つの箱の少なくとも一方に赤いカードがちょうど \(k\) 枚入っている確率を \(p _ k\) とする.
(1) \(p _ 2\) を \(n\) の式で表せ. さらに, \(p _ 2\) を最大にする \(n\) をすべて求めよ.
(2) \(p _ 1 +p _ 2 \lt p _ 0 +p _ 3\) をみたす \(n\) をすべて求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(2n\) 枚のカードを箱 A , 箱 B に \(n\) 枚ずついれる方法は,
全部で \({} _ {2n} \text{C} {} _ n\) 通りある.
このうち, 箱 A か箱 B に赤いカードがちょうど \(2\) 枚入る方法は
\[
2 \cdot {} _ {6} \text{C} {} _ {2} \cdot {} _ {2n-6} \text{C} {} _ {n-2} \quad \text{通り}
\]
よって, 求める確率は
\[\begin{align}
p _ 2 & = \dfrac{2 \cdot {} _ {6} \text{C} {} _ {2} \cdot {} _ {2n-6} \text{C} {} _ {n-2}}{{} _ {2n} \text{C} {} _ n} \\
& = \dfrac{2 \cdot 15 \cdot (2n-6)! \, n! \, n!}{(n-2)! \, (n-4)! \, (2n)!} \\
& = \dfrac{30 n^2 (n-1)^2 (n-2) (n-3)}{2n (2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)(2n-5)} \\
& =\underline{\dfrac{15 n(n-1)(n-3)}{4(2n-1)(2n-3)(2n-5)}}
\end{align}\]
\(f(n) =p _ 2\) とおくと
\[
f(n+1) = \dfrac{15 (n+1) n (n-2)}{4(2n+1)(2n-1)(2n-3)}
\]
ここで, \(\dfrac{f(n+1)}{f(n)}\) と \(1\) の大小を比較すると
\[\begin{align}
\dfrac{f(n+1)}{f(n)} & = \dfrac{(n+1)(n-2)(2n-5)}{(n-1)(n-3)(2n+1)} \gt 1 \\
2n^3-7n^2+n+10 & \gt 2n^3-7n^2+2n+3 \\
\text{∴} \quad n & \lt 7
\end{align}\]
したがって, \(f(n) \ ( n \geqq 3 )\) の大小は
\[
f(3) \lt f(4) \lt \cdots \lt f(7) = f(8) \gt f(9) \gt \cdots
\]
よって, 求める \(n\) の値は
\[
n =\underline{7, 8}
\]
(2)
(1) と同様に考えれば \[\begin{align} p _ 0 & = \dfrac{2 \cdot {} _ {2n-6} \text{C} {} _ {n}}{{} _ {2n} \text{C} {} _ n} =\dfrac{2 \cdot (2n-6)! \, n! \, n!}{n! \, (n-6)! \, (2n)!} \\ & = \dfrac{2n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)(2n-5)} \\ & = \dfrac{(n-3)(n-4)(n-5)}{4(2n-1)(2n-3)(2n-5)} , \\ p _ 1 & = \dfrac{2 \cdot {} _ {6} \text{C} {} _ {1} \cdot {} _ {2n-6} \text{C} {} _ {n-1}}{{} _ {2n} \text{C} {} _ n} =\dfrac{12 \cdot (2n-6)! \, n! \, n!}{(n-1)! \, (n-5)! \, (2n)!} \\ & = \dfrac{12n^2(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)(2n-5)} \\ & = \dfrac{3n(n-3)(n-4)}{2(2n-1)(2n-3)(2n-5)} , \\ p _ 3 & = \dfrac{{} _ {6} \text{C} {} _ {3} \cdot {} _ {2n-6} \text{C} {} _ {n-3}}{{} _ {2n} \text{C} {} _ n} = \dfrac{20 \cdot (2n-6)! \, n! \, n!}{(n-3)! \, (n-3)! \, (2n)!} \\ & = \dfrac{20n^2(n-1)^2(n-2)^2}{2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)(2n-5)} \\ & = \dfrac{5n(n-1)(n-2)}{2(2n-1)(2n-3)(2n-5)} \end{align}\] したがって \[\begin{align} p _ 1 +p _ 2 & \lt p _ 0 +p _ 3 \\ 6n(n-3) (n-4) +15n(n-1) & (n-3) \\ \lt (n-3)(n-4) & (n-5) +10n(n-1)(n-2) \\ 6n^3 -42n^2 +72n +15n^3 -60n^2 & +45n \\ \lt n^3 -12n^2 +47n & -60 +10n^3 -30n^2 +20n \\ 10n^3 -60n^2 +50n +60 & \lt 0 \\ n^3 -6n^2 +5n +6 & \lt 0 \\ (n-2)(n^2 -4n -3) & \lt 0 \\ (n-2) \left\{ n -\left( 2-\sqrt{7} \right) \right\} \left\{ n -\left( 2+\sqrt{7} \right) \right\} & \lt 0 \\ \text{∴} \quad 2 \lt n \lt 2+\sqrt{7} & \end{align}\] \(2 \lt \sqrt{7} \lt 3\) なので, 求める \(n\) の値は \[ n = \underline{3, 4} \]