\(n\) を自然数とする. \(xy\) 平面上で行列 \(\left( \begin{array}{cc} 1-n & 1 \\ -n( n+1 ) & n+2 \end{array} \right)\) の表す \(1\) 次変換（移動ともいう）を \(f _ n\) とする. 次の問に答えよ.
(1) 原点 O \(( 0 , 0 )\) を通る直線で, その直線上のすべての点が \(f _ n\) により同じ直線上に移されるものが \(2\) 本あることを示し, この \(2\) 直線の方程式を求めよ.
(2) (1) で得られた \(2\) 直線と曲線 \(y = x^2\) によって囲まれる図形の面積 \(S _ n\) を求めよ.
(3) \(\textstyle\sum\limits _ {n=1}^{\infty} \dfrac{1}{S _ n -\frac{1}{6}}\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
原点 O を通る直線は, \(x = 0\) または \(y = kx\) （ \(k\) は実数）と表せる.
1* \(x = 0\) のとき, 点P \(( p , 0 )\) が \(f _ n\) によって移動する点は \[ \left( \begin{array}{cc} 1-n & 1 \\ -n( n+1 ) & n+2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} p \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} p( n-1 ) \\ -pn( n+1 ) \end{array} \right) \] この点が任意の \(p\) に対して \(x = 0\) 上にあることはないので不適.
2* \(y = kx\) のとき \[ \left( \begin{array}{cc} 1-n & 1 \\ -n( n+1 ) & n+2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} p \\ kp \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} p( 1-n+k ) \\ p \left\{ -n( n+1 ) +k( n+2 ) \right\} \end{array} \right) \] この点が \(y = kx\) 上にあるので \[ p \left\{ -n( n+1 ) +k( n+2 ) \right\} = k p( 1-n+k ) \] これが任意の \(p\) について成立するので, \[\begin{align} -n( n+1 ) +k( n+2 ) & = k ( 1-n+k ) \\ k^2 -( 2n+1 )k +n( n+1 ) & = 0 \\ ( k-n )( k-n-1 ) & = 0 \\ \text{∴} \quad k & = n , n+1 \end{align}\] したがって, \(y = nx\) と \(y = (n+1)x\) の \(2\) 本が条件を満たしている.
1* 2*より条件を満たす直線は \(2\) 本あり, その方程式は \[ \underline{y = nx , \ y = (n+1)x} \]
(2)
\(y = nx , \ y = (n+1)x\) はそれぞれ \(y=x^2\) と \(2\) つの交点 \(( 0 , 0 )\) と \(( n , n^2 )\) , \(( 0 , 0 )\) と \(( n+1 , (n+1)^2 )\) をもつ.
したがって \[\begin{align} S _ n & = \displaystyle\int _ 0^{n+1} \left\{ x^2 -(n+1)x \right\} \, dx -\displaystyle\int _ 0^n ( x^2 -nx ) \, dx \\ & = \dfrac{1}{6} (n+1)^3 -\dfrac{1}{6} n^3 \\ & = \underline{\dfrac{1}{6} ( 3n^2 +3n +1 )} \end{align}\]
(3)
\[ \dfrac{1}{S _ n -\dfrac{1}{6}}= \dfrac{2}{n^2 +n} = 2 \left( \dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{n+1} \right) \] なので, 求める値は \[\begin{align} \textstyle\sum\limits _ {n=1}^{\infty} \dfrac{1}{S _ n -\frac{1}{6}} & = 2 \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} \left( \dfrac{1}{k} -\dfrac{1}{k+1} \right) \\ & = 2 \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( 1 -\dfrac{1}{n+1} \right) \\ & = \underline{2} \end{align}\]