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連立不等式 \[ \left\{\begin{array}{l} x^2 +\left( y -\dfrac{1}{2} \right)^2 \leqq 1 \\ y \geqq 0 \end{array}\right. \] の表す図形を \(x\) 軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ.

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【 解 答 】

与えられた連立不等式の示す領域は下図斜線部（境界含む）.

これは, \(y\) 軸について対称である.
また, 円周部分について

• \(y \geqq \dfrac{1}{2}\) の部分は, \(y =\dfrac{1}{2} +\sqrt{1-x^2}\)

• \(y \lt \dfrac{1}{2}\) の部分は, \(y =\dfrac{1}{2} -\sqrt{1-x^2}\)

したがって, 求める体積 \(V\) は \[\begin{align} V & = 2\pi \displaystyle\int _ 0^1 \left( \dfrac{1}{2} +\sqrt{1-x^2} \right)^2 dx -2\pi \displaystyle\int _ {\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 \left( \dfrac{1}{2} -\sqrt{1-x^2} \right)^2 dx \\ & = 2\pi \displaystyle\int _ 0^1 \left( \dfrac{5}{4} -x^2 +\sqrt{1-x^2} \right) dx -2\pi \displaystyle\int _ {\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 \left( \dfrac{5}{4} -x^2 -\sqrt{1-x^2} \right) dx \\ & = 2\pi \displaystyle\int _ 0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \left( \dfrac{5}{4} -x^2 \right) dx +2\pi \underline{\displaystyle\int _ 0^1 \sqrt{1-x^2} dx} _ {[1]} +2\pi \underline{\displaystyle\int _ {\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 \sqrt{1-x^2} dx} _ {[2]} \end{align}\] ここで, [1] [2] それぞれが下図斜線部の面積を示すことを利用すれば

\[\begin{align} V & = 2\pi \left[ \dfrac{5x}{4} -\dfrac{x^3}{3} \right] _ 0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} +2\pi \cdot \dfrac{\pi}{4} +2\pi \left( \dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \dfrac{\pi}{6} -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \right) \\ & = \sqrt{3} \pi \left( \dfrac{5}{4} -\dfrac{1}{4} \right) +\dfrac{\pi^2}{2} +\dfrac{\pi^2}{6} -\dfrac{\sqrt{3} \pi}{4} \\ & =\underline{\dfrac{3 \sqrt{3} \pi}{4} +\dfrac{2 \pi^2}{3}} \end{align}\]