数列 \(\left\{ a _ n \right\}\) を \[ a _ 1 = \dfrac{1}{2} , \ a _ {n+1} =1-{a _ n}^2 \quad ( n =1, 2, 3, \cdots ) \] で定める. 次の問いに答えよ.
(1) \(0 \lt a _ {2n-1} \leqq \dfrac{1}{2}\) , \(\dfrac{3}{4} \leqq a _ {2n} \lt 1\) （ \(n =1, 2, 3, \cdots\) ）であることを示せ.
(2) \(x\) が \(0 \leqq x \leqq \dfrac{1}{2}\) の範囲を動くとき, 関数 \(f(x) = 2x -x^3\) のとる値の範囲を求める.
(3) \(\dfrac{2 _ {2n+1}}{a _ {2n-1}} \leqq \dfrac{7}{8}\) （ \(n =1, 2, 3, \cdots\) ）であることを示せ.
【 解 答 】
(1)
\[ 0 \lt a _ {2n-1} \leqq \dfrac{1}{2} , \ \dfrac{3}{4} \leqq a _ {2n} \lt 1 \quad ... [\text{A}] \] がすべての自然数 \(n\) について成立することを, 数学的帰納法を用いて示す.
1* \(n = 1\) のとき \[ a _ 1 = \dfrac{1}{2} , \ a _ 2 = 1-\left( \dfrac{1}{2} \right)^2 = \dfrac{3}{4} \] ゆえに, [A] は成立する.
2* \(n = k\) （ \(k\) は自然数）のとき, [A] が成立すると仮定すると \[\begin{align} 1 -1^2 & \lt a _ {2k+1} \leqq 1 -\left( \dfrac{3}{4} \right)^2 \\ \text{∴} \quad 0 & \lt a _ {2k+1} \leqq \dfrac{7}{16} <\dfrac{1}{2} \end{align}\] さらにこれを用いて \[\begin{align} 1 -\left( \dfrac{1}{2} \right)^2 \leqq a _ {2k+2} & \lt 1 -0^2 \\ \text{∴} \quad \dfrac{3}{4} \leqq a _ {2k+2} & \lt 1 \end{align}\] ゆえに, \(n = k+1\) のときも [A] は成立する.
1* 2* より, 題意は示された.
(2)
\(0 \leqq x \leqq \dfrac{1}{2}\) のとき \[ f'(x) = 2 -3x^2 \geqq 2 -3 \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 = \dfrac{5}{4} \gt 0 \] なので, \(f(x)\) は単調増加する. よって \[\begin{gather} f(0) \leqq f(x) \leqq f \left( \dfrac{1}{2} \right) \\ \text{∴} \quad \underline{0 \leqq f(x) \leqq \dfrac{7}{8}} \end{gather}\]
(3)
\[\begin{align} a _ {2n+1} & = 1-{a _ {2n}}^2 =1-\left( 1-{a _ {2n-1}}^2 \right)^2 \\ & = 2 {a _ {2n-1}}^2 -{a _ {2n-1}}^4 \\ \text{∴} \quad & \dfrac{a _ {2n+1}}{a _ {2n-1}} = 2 a _ {2n-1} -{a _ {2n-1}}^3 \end{align}\] (1) の結果から \(0 \lt a _ {2n-1} \leqq \dfrac{1}{2}\) なので, (2) の結果を用いれば \[ \dfrac{a _ {2n+1}}{a _ {2n-1}} = f( a _ {2n-1} ) \leqq \dfrac{7}{8} \]