\(n\) を \(2\) 以上の整数とする. 自然数（ \(1\) 以上の整数）の \(n\) 乗になる数を \(n\) 乗数と呼ぶことにする. 以下の問いに答えよ.
(1) 連続する \(2\) 個の自然数の積は \(n\) 乗数でないことを示せ.
(2) 連続する \(n\) 個の自然数の積は \(n\) 乗数でないことを示せ.
【 解 答 】
(1)
\[
m (m+1) =a^n \quad ... [ \text{A} ]
\]
[A] をみたす自然数 \(m\) , \(a\) が存在すると仮定する.
\(m\) と \(m+1\) は互いに素なので, \(a=bc \quad ( b \lt c )\) をみたす自然数 \(b\) , \(c\) を用いて
\[
m =b^n , \quad m+1 =c^n
\]
と表せる. このとき
\[
c^n -b^n =1
\]
しかし
\[
c^n -b^n \gt 2^2 -1^2 =3
\]
なので, [A] をみたす \(m\) は存在せず, 矛盾する.
よって, 題意は示された.
(2)
(1) の結果より, \(n=2\) のときは示されている.
\(n \geqq 3\) のときについて考える.
\[
m (m+1) \cdots (m+n-1) =a^n \quad ... [ \text{B} ]
\]
[B] をみたす自然数 \(m\) , \(a\) が存在すると仮定する.
[B] より
\[
m+1 \leqq a \leqq m+n-2
\]
ここで \(a =m+k \quad (1 \leqq k \leqq n-2 )\) とおくと, [B] より
\[\begin{align}
m \cdots (m+k-1)(m+k)(m+k+1) \cdots (m+n-1) & = (m+k)^n \\
\text{∴} \quad m \cdots (m+k-1)(m+k+1) \cdots (m+n-1) & = (m+k)^{n-1}
\end{align}\]
しかし, \(m+k\) と \(m+k-1\) は互いに素なので, 矛盾する.
よって, 題意は示された.