\(2 \times 2\) 行列 \(P =\left( \begin{array}{cc} p & q \\ r & s \end{array} \right)\) に対して \[ \text{Tr}(P) =p+s \] と定める.
　\(a , b , c\) は \(a \geqq b >0\) , \(0 \leqq c \leqq 1\) を満たす実数とする. 行列 \(A , B , C , D\) を次で定める. \[\begin{align} A & = \left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & b \end{array} \right) , \quad B =\left( \begin{array}{cc} b & 0 \\ 0 & a \end{array} \right) , \\ C & =\left( \begin{array}{cc} a^c & 0 \\ 0 & b^c \end{array} \right) , \quad D = \left( \begin{array}{cc} b^{1-c} & 0 \\ 0 & a^{1-c} \end{array} \right) \end{align}\] また実数 \(x\) に対し \(U(x) =\left( \begin{array}{cc} \cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x \end{array} \right)\) とする.
　このとき以下の問いに答えよ.

1. (1)　各実数 \(t\) に対して, \(x\) の関数 \[ f(x) = \text{Tr} \left( \left( U(t) A U(-t) -B \right) U(x) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) U(-x) \right) \] の最大値 \(m(t)\) を求めよ. （最大値をとる \(x\) を求める必要はない. ）

2. (2)　すべての実数 \(t\) に対し \[ 2 \text{Tr} \left( U(t) C U(-t) D \right) \geqq \text{Tr} \left( U(t) A U(-t) +B \right) -m(t) \] が成り立つことを示せ.

【 解 答 】

(1)

\(P =U(t) A U(-t) -B\) , \(Q =U(x) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) U(-x)\) とおくと \[\begin{align} P & = \left( \begin{array}{cc} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & b \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{array} \right) \\ & \qquad -\left( \begin{array}{cc} b & 0 \\ 0 & a \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{cc} a \cos t & -b \sin t \\ a \sin t & b \cos t \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{array} \right) \\ & \qquad -\left( \begin{array}{cc} b & 0 \\ 0 & a \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{cc} a \cos^2 t +b \sin^2 t & (a-b) \sin t \cos t \\ (a-b) \sin t \cos t & a \cos^2 t +b \sin^2 t \end{array} \right) \\ & \qquad -\left( \begin{array}{cc} b & 0 \\ 0 & a \end{array} \right) \\ & = (a-b) \cos t \left( \begin{array}{cc} \cos t & \sin t \\ \sin t & -\cos t \end{array} \right) \end{align}\] \[\begin{align} Q & = \left( \begin{array}{cc} \cos x & \sin x \\ \sin x & -\cos x \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{cc} \cos 2x & \sin 2x \\ \sin 2x & -\cos 2x \end{array} \right) \end{align}\] したがって \[\begin{align} f(x) & = \text{Tr} (PQ) \\ & = (a-b) \cos t ( \cos t \cos 2x +\sin t \sin 2x \\ & \qquad +\sin t \sin 2x +\cos t \cos 2x ) \\ & = 2(a-b) \cos t \cos ( 2x-t ) \\ & \leqq 2(a-b) \left| \cos t \right| \end{align}\] よって \[ m(t) =\underline{2(a-b) \left| \cos t \right|} \]

(2)

\(R =U(t) C U(-t)\) とおくと \[ R =\left( \begin{array}{cc} a^c \cos^2 t +b^c \sin^2 t & (a^c-b^c) \sin t \cos t \\ (a^c-b^c) \sin t \cos t & a^c \cos^2 t +b^c \sin^2 t \end{array} \right) \] なので \[\begin{align} \text{Tr} & ( U(t) C U(-t) D ) = \text{Tr} (RD) \\ & = b^{1-c} \left( a^c \cos^2 t +b^c \sin^2 t \right) \\ & \qquad +a^{1-c} \left( a^c \cos^2 t +b^c \sin^2 t \right) \\ & = \left( a +a^c b^{1-c} \right) \cos^2 t +\left( b +a^{1-c} b^c \right) \sin^2 t \\ & = a+b +\left( -a-b +a^cb^{1-c} +a^{1-c}b^c \right) \cos^2 t \end{align}\] また \[\begin{align} \text{Tr} & (U(t) A U(-t) +B) \\ & = \left( a \cos^2 t +b \sin^2 t +b \right) +\left( a \cos^2 t +b \sin^2 t +a \right) \\ & = 2(a+b) \end{align}\] これらを用いて, 示すべき不等式を変形すると \[\begin{align} & 2 \text{Tr} \left( U(t) C U(-t) D \right) \\ & \qquad \geqq \text{Tr} \left( U(t) A U(-t) +B \right) -m(t) \\ & 2(a+b) +2 \left( -a-b +a^cb^{1-c} +a^{1-c}b^c \right) \cos^2 t \\ & \qquad \geqq 2(a+b) -2(a-b) \left| \cos t \right| \\ & \left( -a-b +a^cb^{1-c} +a^{1-c}b^c \right) \cos^2 t \\ & \qquad \geqq -(a-b) \left| \cos t \right| \\ & \text{∴} \quad a-b \geqq \left( a+b -a^cb^{1-c} -a^{1-c}b^c \right) \left| \cos t \right| \ ... [ \text{A} ] \end{align}\] したがって, [A] が成立することを示せばよい.
ここで \[\begin{align} a-b & - \left( a+b -a^cb^{1-c} -a^{1-c}b^c \right) \\ & = b \left( a^c b^{-c} -1 \right) +b \left( a^{1-c} b^{c-1)} -1 \right) \\ & \geqq 0 \quad \left( \text{∵} \ a^c b^{-c} \geqq 1 , \ a^{1-c} b^{c-1} \geqq 1 \right) \\ \text{∴} \ a-b & \geqq a+b -a^cb^{1-c} -a^{1-c}b^c \end{align}\] これと \(0 \leqq \left| \cos t \right| \leqq 1\) であることを用いると \[\begin{align} a-b & \geqq a+b -a^cb^{1-c} -a^{1-c}b^c \\ & \geqq \left( a+b -a^cb^{1-c} -a^{1-c}b^c \right) \left| \cos t \right| \end{align}\] よって, [A] が成立することが示され, 題意も示された.