次の命題 (p) , (q) のそれぞれについて, 正しいかどうか答えよ. 正しければ証明し, 正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ.
(p) 正 \(n\) 角形の頂点から \(3\) 点を選んで内角の \(1\) つが \(60^{\circ}\) である三角形を作ることができるならば, \(n\) は \(3\) の倍数である.
(q) △ABC と △ABD において, \(\text{AC} \lt \text{AD}\) かつ \(\text{BC} \lt \text{DB}\) ならば, \(\angle \text{C} \gt \angle \text{D}\) である.
【 解 答 】
(p)
命題が正しいことを示す.
正 \(n\) 角形の頂点を \(\text{P} _ 1 , \text{P} _ 2 , \cdots , \text{P} _ n\) , 外接円の中心を O とおく.
いま, \(\angle \text{P} _ 1 \text{P} _ i \text{P} _ k =60^{\circ}\) （ \(2 \leqq i \lt k \leqq n\) ）となるとき,
円周角の定理から
\[\begin{align}
\angle \text{P} _ 1 \text{OP} _ k & =\dfrac{360^{\circ}}{n} \cdot k = 120^{\circ} \\
\text{∴} \quad n & = 3k
\end{align}\]
よって, \(n\) は \(3\) の倍数である.
(q)
命題は正しくないので, 反例を示す.
下図のように, AB が他の辺より短い場合を考えると,
\(\angle \text{C} = \angle \text{D}\) となることがあるといえる.
