定数 \(k\) は \(k \gt 1\) をみたすとする. \(xy\) 平面上の点 A \(( 1 , 0 )\) を通り \(x\) 軸に垂直な直線の第 \(1\) 象限に含まれる部分を, \(2\) 点 X, Y が \(\text{AY} = k \text{AX}\) をみたしながら動いている. 原点 O \(( 0 , 0 )\) を中心とする半径 \(1\) の円と線分 OX, OY が交わる点をそれぞれ P, Q とするとき, △OPQ の面積の最大値を \(k\) を用いて表せ.

【 解 答 】

X \(( 1 , t ) \ ( t \gt 0 )\) とおくと, Y \(( 1 , kt )\) .
また \[ \text{OX} : \ y = tx , \ \text{OY} : \ y = ktx \] 円 \(x^2+y^2 = 1\) と線分 OX の交点 P の座標を求めると \[\begin{align} x^2 & +(tx)^2 = 1 \\ \text{∴} \quad x & = \dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}} \\ \text{∴} \quad y & = \dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}} \end{align}\] なので \[ \text{P} \ \left( \dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}} , \dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}} \right) \] 同様にすれば, 円 \(x^2+y^2=1\) と線分 OY の交点は, \[ \text{Q} \ \left( \dfrac{1}{\sqrt{k^2t^2+1}} , \dfrac{kt}{\sqrt{k^2t^2+1}} \right) \] したがって \[\begin{align} \triangle \text{OPQ} & = \dfrac{1}{2} \left| \dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}} \cdot \dfrac{kt}{\sqrt{k^2t^2+1}} -\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{k^2t^2+1}} \right| \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(k-1)t}{\sqrt{t^2+1}\sqrt{k^2t^2+1}} \quad ( \ \text{∵} \ k \gt 1 ) \\ & = \dfrac{k-1}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{t^2}(t^2+1)(k^2t^2+1)}} \\ & = \dfrac{k-1}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{k^2+1+k^2t^2+\dfrac{1}{t^2}}} \\ & \leqq \dfrac{k-1}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{k^2+1+2\sqrt{k^2t^2 \cdot \dfrac{1}{t^2}}}} \quad ( \ \text{∵} \ \text{相加相乗平均の関係} ) \\ & = \dfrac{k-1}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{k^2+2k+1}} = \dfrac{k-1}{2(k+1)} \end{align}\] 等号成立は, \(k^2t^2 = \dfrac{1}{t^2}\) すなわち \(t=\dfrac{1}{\sqrt{k}}\) のときである.
よって, △OPQ の面積の最大値は \[ \underline{\dfrac{k-1}{2(k+1)}} \]