(1) \(\log _ {10} 3 = 0.4771\) として, \(\textstyle\sum\limits _ {n=0}^{99} 3^n\) の桁数を求めよ.
(2) 実数 \(a\) に対して, \(a\) を超えない最大の整数を \([a]\) で表す. \(10000\) 以下の正の整数 \(n\) で \(\left[ \sqrt{n} \right]\) が \(n\) の約数となるものは何個ある.
【 解 答 】
(1)
\(I = \textstyle\sum\limits _ {n=0}^{99} 3^n\) とおく. \[ I = \dfrac{3^{100}-1}{3-1} =\dfrac{3^{100} -1}{2} \] したがって, \[\begin{align} 3^{99} & \lt I \lt 3^{100} \\ \text{∴} \quad \log _ {10} 3^{99} & \lt \log _ {10} I \lt \log _ {10} 3^{100} \\ \end{align}\] ここで \[\begin{align} \log _ {10} 3^{99} & = 99 \cdot 0.4771 = 47.2329 , \\ \log _ {10} 3^{100} & = 100 \cdot 0.4771 = 47.71 \end{align}\] なので \[ \log _ {10} I = 47. \cdots \] よって \(I\) の桁数は, \(\underline{48}\) .
(2)
\([ \sqrt{n} ] = m\) （ \(m\) は自然数）となるのは \[ m^2 \leqq n \leqq (m+1)^2 -1 = m(m+2) \quad ... [1] \] を \(n\) がみたすときである. [1]の範囲には \(m\) の倍数が \(3\) つ（ \(m^2 , m(m+1) , m(m+2)\) ）含まれ, \(10000 =100^2\) であることから, もとめる個数は \[ 99 \cdot 3 +1 = \underline{298 \text{個}} \]