\(n\) を正の整数とする. 数列 \(\{ a _ k \}\) を \[\begin{align} a _ 1 & = \dfrac{1}{n(n+1)} , \\ a _ {k+1} & = -\dfrac{1}{k+n+1} +\dfrac{n}{k} \textstyle\sum\limits _ {i=1}^k a _ i \quad ( k =1, 2, 3, \cdots ) \end{align}\] によって定める.
(1) \(a _ 2\) および \(a _ 3\) を求めよ.
(2) 一般項 \(a _ k\) を求めよ.
(3) \(b _ n =\textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \sqrt{a _ k}\) とおくとき, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} b _ n =\log 2\) を示せ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align} a _ 2 & = -\dfrac{1}{n+2} +\dfrac{n}{1} \cdot \dfrac{1}{n(n+1)} \\ & = \underline{\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}} \\ a _ 3 & = -\dfrac{1}{n+3} +\dfrac{n}{2} \left\{ \dfrac{1}{n(n+1)} +\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \right\} \\ & = -\dfrac{1}{n+3} +\dfrac{n}{2} \cdot \dfrac{2}{n(n+2)} \\ & = \underline{\dfrac{1}{(n+2)(n+3)}} \end{align}\]
(2)
すべての自然数 \(k\) について \[ a _ k = \dfrac{1}{(n+k-1)(n+k)} \quad ... [\text{P}] \] であることを数学的帰納法を用いて示す.
1* \(k=1\) のとき, 条件より [P] は成立する.
2* \(1 \leqq k \leqq m \ ( m \geqq 1 )\) のとき, [P] が成立すると仮定すると \[\begin{align} a _ {m+1} & = -\dfrac{1}{n+m+1} \\ & \qquad +\dfrac{n}{m} \left\{ \dfrac{1}{n(n+1)} +\cdots +\dfrac{1}{(n+m-1)(n+m)} \right\} \\ & = -\dfrac{1}{n+m+1} +\dfrac{n}{m} \cdot \dfrac{m}{n(n+m)} \\ & = \dfrac{1}{(n+m)(n+m+1)} \end{align}\] したがって, \(k = m+1\) のときも [P] が成立する.
1* 2*より, 題意は示された.
(3)
(2) の結果より \[ \dfrac{1}{n+k} \lt \sqrt{a _ k} \lt \dfrac{1}{n+k-1} \] これに \(k= 1, 2 , \cdots , n\) を代入した式を足し合わせると \[ \underline{\textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \dfrac{1}{n+k}} _ {[1]} \lt b _ n \lt \underline{\textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \dfrac{1}{n+k-1}} _ {[2]} \] ここで, [1] [2] について, \(n \rightarrow \infty\) の極限を考えると \[\begin{align} [1] & = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum _ {k=1}^n \dfrac{1}{1 +\frac{k}{n}} \\ & \rightarrow \displaystyle\int _ 0^1 \dfrac{dx}{1+x} =\left[ \log (1+x) \right] _ 0^1 \\ & = \log 2 , \\ [2] & = \dfrac{1}{n} +\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum _ {k=1}^n \dfrac{1}{1 +\frac{k}{n}} -\dfrac{1}{2n} \\ & \rightarrow 0 +\displaystyle\int _ 0^1 \dfrac{dx}{1+x} -0 \\ & = \log 2 \end{align}\] よって, はさみうちの原理より \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} b _ n = \underline{\log 2} \]