\(A =\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) で定める \(1\) 次変換を \(f\) とする. 原点 O \((0,0)\) と異なる任意の \(2\) 点 P, Q に対して \(\dfrac{\text{OP'}}{\text{OP}} =\dfrac{\text{OQ'}}{\text{OQ}}\) が成り立つ. ただし, P', Q' はそれぞれ P, Q の \(f\) による像を表す.
(1) \(a^2+c^2 =b^2+d^2\) を示せ.
(2) \(1\) 次変換 \(f\) により, 点 \((1, \sqrt{3})\) が点 \((-4,0)\) に移るとき, \(A\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
P, Q は任意の点なので, P \((1,0)\) , Q \((0,1)\) とおいてよい. \[ \text{OP} =\text{OQ} =1 \] また \[ A \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a \\ c \end{array} \right) , \ A \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} b \\ d \end{array} \right) \] なので, P' \((a,c)\) , Q' \((b,d)\) . したがって \[ \text{OP'} =\sqrt{a^2+c^2} , \ \text{OQ'} =\sqrt{b^2+d^2} \] これらを \(\dfrac{\text{OP'}}{\text{OP}} =\dfrac{\text{OQ'}}{\text{OQ}}\) に代入して \[\begin{align} \dfrac{\sqrt{a^2+c^2}}{1} & = \dfrac{\sqrt{b^2+d^2}}{1} \\ \text{∴} \quad a^2+c^2 & = b^2+d^2 \end{align}\]
(2)
P \((1, \sqrt{3})\) , P' \((-4,0)\) とおくと \[ \dfrac{\text{OP'}}{\text{OP}} =\dfrac{4}{\sqrt{1+3}} =2 \]
(1) の結果とあわせて \[ a^2+c^2 = b^2+d^2 = 4 \quad ... [1] \] また \[ A \left( \begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{3} \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} a+\sqrt{3} b \\ c+\sqrt{3} d \end{array} \right) \] なので, 条件より \[\begin{align} a +\sqrt{3} b & = -4 \quad ... [2] \\ c +\sqrt{3} d & = 0 \quad ... [3] \end{align}\] [2] [3] を [1] に代入すれば \[\begin{align} \left( -\sqrt{3} b -4 \right)^2 +\left( -\sqrt{3} d \right)^2 & = b^2 +d^2 = 2 \\ 3( b^2 +d^2 ) +8 \sqrt{3} b +16 & = b^2 +d^2 =4 \\ \text{∴} \quad b = \dfrac{4 -12 -16 }{8 \sqrt{3}} & = -\sqrt{3} \end{align}\] したがって, [1] より \[ d =\pm \sqrt{4 -b^2} = \pm 1 \] [2] より \[ a =-4 -\sqrt{3} \left( -\sqrt{3} \right) =-1 \] [3] より \[ c = -\sqrt{3} \left( \pm 1 \right) = \mp \sqrt{3} \] よって \[ A = \underline{\left( \begin{array}{cc} -1 & -\sqrt{3} \\ \mp \sqrt{3} & \pm 1 \end{array} \right) \quad ( \text{複号同順} )} \]