\(a \gt 0\) とする. \(C _ 1\) を曲線 \(x^2+\dfrac{y^2}{a^2} =1\) , \(C _ 2\) を直線 \(y=2ax-3a\) とする. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 点 P が \(C _ 1\) 上を動き, 点 Q が \(C _ 2\) 上を動くとき, 線分 PQ の長さの最小値を \(f(a)\) とする. \(f(a)\) を \(a\) を用いて表せ.
(2) 極限値 \(\displaystyle\lim _ {a \rightarrow \infty} f(a)\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
P \(( \cos \theta , a \sin \theta )\) とおける.
P を固定したとき, PQ の最小値は P と直線 \(C _ 2\) の距離である.
\(C _ 2 : \ 2ax -y -3a =0\) なので
\[\begin{align}
\text{PQ} & \geqq \dfrac{\left| 2a \cos \theta -a \sin \theta -3a \right|}{\sqrt{(2a)^2 +(-1)^2}} \\
& = \dfrac{\left| \sqrt{5} a \cos ( \theta +\alpha ) -3 a \right|}{\sqrt{4a^2 +1}} \\
& \quad \left( \text{ただし, } \ \cos \alpha =\dfrac{2}{\sqrt{5}} , \ \sin \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{5}} \right)
\end{align}\]
ここで P を動かす, すなわち \(\theta\) を動かすと, \(\cos ( \theta +\alpha ) =1\) のときに最小値をとり
\[
\text{PQ} \geqq \dfrac{\left( 3 -\sqrt{5} \right) a}{\sqrt{4a^2 +1}}
\]
よって
\[
f(a) = \underline{\dfrac{\left( 3 -\sqrt{5} \right) a}{\sqrt{4a^2 +1}}}
\]
(2)
\[\begin{align} f(a) & = \dfrac{3 -\sqrt{5}}{\sqrt{4 -\frac{1}{a^2}}} \\ & \rightarrow \dfrac{3 -\sqrt{5}}{2} \quad ( a \rightarrow \infty \text{のとき} ) \end{align}\] よって \[ \displaystyle\lim _ {a \rightarrow \infty} f(a) = \underline{\dfrac{3 -\sqrt{5}}{2}} \]