次の \(2\) つの条件 (i) , (ii) をみたす自然数 \(n\) について考える.

1. (i)　\(n\) は素数ではない.

2. (ii)　\(l , m\) を \(1\) でも \(n\) でもない \(n\) の正の約数とすると, 必ず \[ | l-m | \leqq 2 \] である.

このとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(n\) が偶数のとき, (i) , (ii) をみたす \(n\) をすべて求めよ.

2. (2)　\(n\) が \(7\) の倍数のとき, (i) , (ii) をみたす \(n\) をすべて求めよ.

3. (3)　\(2 \leqq n \leqq 1000\) の範囲で, (i) , (ii) をみたす \(n\) をすべて求めよ.

【 解 答 】

(1)

条件をみたす \(n\) について, \(n\) を素因数分解した形によって場合分けして考える.

1. 1*　\(n = p^k \) （ \(p\) は素因数, \(k\) は自然数）のとき
   条件 (ii) より, 条件をみたすのは

   • \(p=2\) かつ \(k=2 , 3\) のとき ... [A]

   • \(p \neq 2\) かつ \(k=2\) のとき ... [B]

2. 2*　\(n = p^k q^l\) （ \(p , q\) は素因数, \(k , l\) は自然数）のとき
   条件 (ii) より, 条件をみたすのは

   • \(|p-q| \leqq 2\) かつ \(k = l = 1\) のとき ... [C]

3. 3*　\(n\) が素因数を \(3\) つ以上もつとき
   \(3\) つの素因数には, 差が \(3\) 以上になる組が少なくとも \(1\) 組あるので, 条件をみたす \(n\) は存在しない.

以上のことから, \(n\) が偶数のときは

1. [A] について \[ 2^2 =4 , \ 2^3 =8 \]
2. [C] について \[ 2 \cdot 3 =6 \]

よって \[ n = \underline{4 , 6 , 8} \]

(2)

\(n\) が \(7\) の倍数のときは

1. [B] について \[ 7^2 =49 \]
2. [C] について \[ 5 \cdot 7 =35 \]

よって \[ n =\underline{35 , 49} \]

(3)

1. [A] について \[ 2^2 =4 , \ 2^3 =8 \]
2. [B] について, \(33^2 \lt 1000 \lt 34^2\) なので \[\begin{align} & 3^2 =9 , \ 5^2 =25 , \ 7^2 =49 , \ 11^2 =121 , \ 13^2 =169 , \\ & 17^2 =289 , \ 19^2 =361 , \ 23^2 =529 , \ 29^2 =841 , \ 31^2 =961 \end{align}\]
3. [C] について, \(31 \cdot 33 \lt 1000 \lt 33 \cdot 35\) なので \[\begin{align} & 2 \cdot 3 =6 , \ 3 \cdot 5 =15 , \ 5 \cdot 7 =35 , \ 11 \cdot 13 =143 , \\ & 17 \cdot 19 =323 , \ 29 \cdot 31 =899 \end{align}\]

よって \[\begin{align} n & =\underline{4 , 6 , 8 , 9 , 15 , 25 , 35 , 49 , 121 , 143 , } \\ & \qquad \underline{169 , 289 , 323 , 361 , 529 , 841 , 899 , 961} \end{align}\]