\(5\) 次式 \(f(x) =x^5 +px^4 +qx^3 +rx^2 +sx +t \) （ \(p, q, r, s, t\) は実数）について考える. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 数列 \(f(0) , f(1) , f(2) , f(3) , f(4)\) が等差数列であることと, \[ f(x) =x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) +lx +m \] （ \(l, m\) は実数）と書けることは互いに同値であることを示せ.
(2) \(f(x)\) は (1) の条件をみたすものとする. \(\alpha\) を実数, \(k\) を \(3\) 以上の自然数とする. \(k\) 項からなる数列 \[ f( \alpha ) , f( \alpha +1 ) , f( \alpha +2 ) , \cdots , f( \alpha +k-1 ) \] が等差数列となるような \(\alpha , k\) の組をすべて求めよ.
【 解 答 】
(1)
以下のようにおく.
- [P] ... 「 \(f(0) , f(1) , f(2) , f(3) , f(4)\) が等差数列である. 」
- [Q] ... 「 \(f(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) +lx +m\) とかける. 」
1* \(\text{[Q]} \Rightarrow \text{[P]}\) の証明 \[\begin{align} f(0) & = m , \ f(1) = l+m , \ f(2) = 2l+m , \\ f(3) & = 3l+m , \ f(4) = 4l+m \end{align}\] よって, [P]が成立する.
2* \(\text{[P]} \Rightarrow \text{[Q]}\) の証明 条件より, \(f(i) =Li +M \ ( i =0, 1, 2, 3, 4 )\) とおける. \(g(x) = f(x) -(Lx+M)\) とおくと, \(i =0, 1, 2, 3, 4\) について \[ g(i) = f(i) -(Li+M) =0 \] なので, \(g(x)=0\) は \(x =0 , 1 , 2 , 3 , 4\) を解にもつ. \(g(x)\) は, 最高次の係数が \(1\) の \(5\) 次式なので \[\begin{align} g(x) & = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \\ \text{∴} \quad f(x) & = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) +Lx+M \end{align}\] よって, [Q]が成立する.
1* 2*より, 題意は示された.
(2)
\(( \alpha , k ) \ (k \geqq 3)\) の組が条件をみたすためには, \(( \alpha , 3 )\) の組が条件をみたす必要がある.
まず, \(k=3\) の場合について考える.
このとき
\[
f( \alpha ) +f( \alpha +2 ) = 2 f( \alpha +1 )
\]
が成立する.
(1) の結果を用いれば
\[\begin{align}
\alpha ( \alpha -1 )( \alpha -2 )( \alpha -3 )( \alpha -4 ) & +l \alpha +m \\
+ ( \alpha +2 )( \alpha +1 ) \alpha & ( \alpha -1 )( \alpha -2 ) +l ( \alpha +2 ) +m \\
= 2 ( \alpha +1 ) & \alpha ( \alpha -1 )( \alpha -2 )( \alpha -3 ) +2l ( \alpha +1 ) +2m \\
\alpha ( \alpha -1 )( \alpha -2 )( -3 \alpha +14 ) & = 0 \\
20 \alpha ( \alpha -1)( \alpha -2) & =0 \\
\text{∴} \quad \alpha & = 0, 1, 2
\end{align}\]
ここで
\[\begin{align}
f(5) -f(4) & = (5!+5l+m) -(4l+m) \\
& =120+l \neq l
\end{align}\]
なので, \(f(5)\) が \(f(3) , f(4)\) と等差数列をなすことはない.
よって, 等差数列をなすのは \(f(0)\) ～ \(f(4)\) であり, 求める組は
\[
( \alpha , k ) =\underline{(0,3) , (0,4) , (0,5) , (1,3) , (1,4) , (2,3)}
\]