\(1\) 個のさいころを \(3\) 回続けて投げるとき, \(1\) 回目に出る目を \(l\) , \(2\) 回目に出る目を \(m\) , \(3\) 回目に出る目を \(n\) で表すことにする. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 極限値 \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow -1} \dfrac{lx^2 +mx +n}{x+1} \] が存在する確率を求めよ.
(2) 関数 \[ f(x) =\dfrac{lx^2 +mx +n}{x+1} \] が, \(x \gt -1\) の範囲で極値をとる確率を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[ \dfrac{lx^2 +mx +n}{x+1} = lx +m-n +\dfrac{l-m+n}{x+1} \] なので, 極限値が存在する条件は \[\begin{align} l-m+n & = 0 \\ \text{∴} \quad m & =l+n \quad ... [1] \end{align}\] \(m \ ( 2 \leqq m \leqq 6 )\) の値に対して, \((l,n)\) の組は \(m-1\) 組あるので, [1]をみたす \(( l, m, n )\) の組は \[ \textstyle\sum\limits _ {m=2}^{6} (m-1) = \dfrac{5 \cdot 6}{2} =15 \quad \text{組} \] よって, 求める確率は \[ \dfrac{15}{6^3} = \underline{\dfrac{5}{72}} \]
(2)
\[\begin{align}
f'(x) & = \dfrac{(2lx+m)(x+1) -(lx^2+mx+n) \cdot 1}{(x+1)^2} \\
& = \dfrac{lx^2 +2lx +m-n}{(x+1)^2}
\end{align}\]
分子を \(g(x)\) とおくと, \(x \gt -1\) において, \(g(x)\) の符号が変化する条件を考えればよい.
\[
g(x) = l (x+1)^2 -l+m-n
\]
なので
\[\begin{align}
g(-1) & = -l+m-n \lt 0 \\
\text{∴} \quad m & \lt l+n
\end{align}\]
背反な条件 \(m \geqq l+n\) ...[2] をみたす \((l,m,n)\) の組の数を考える.
\(m \ ( 2 \leqq m \leqq 6 )\) の値に対して, \((l,n)\) の組は \(\textstyle\sum\limits _ {k=2}^{m} k-1\) 組あるので, [2] をみたす \(( l, m, n )\) の組は
\[\begin{align}
\textstyle\sum\limits _ {m=2}^{6} \textstyle\sum\limits _ {k=2}^{m}(k-1) & = \textstyle\sum\limits _ {m=2}^{6} \dfrac{m (m-1)}{2} \\
& =1+3+6+10+15 \\
& =35 \quad \text{組}
\end{align}\]
よって, 求める確率は
\[
1 -\dfrac{35}{6^3} = \underline{\dfrac{181}{216}}
\]