\(a^2+b^2=1\) を満たす正の実数 \(a , b\) の全体を \(S\) とする. \(S\) に含まれる \((a, b)\) に対し, \(xyz\) 空間内に \(3\) 点 P \((a, b, b)\) , Q \((-a, b, b)\) , R \((0, 0, b)\) をとる. また原点を O とする. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　三角形 OPQ を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体を \(F _ 1\) とする. \((a, b)\) が \(S\) の中を動くとき, \(F _ 1\) の体積の最大値を求めよ.

2. (2)　三角形 PQR を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体を \(F _ 2\) とする. \(a = b = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\) のとき, \(F _ 2\) の \(xy\) 平面による切り口の周を \(xy\) 平面上に図示せよ.

3. (3)　三角形 OPR を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体を \(F _ 3\) とする. \((a, b)\) が \(S\) の中を動くとき, \(F _ 3\) の体積の最大値を求めよ.

【 解 答 】

(1)

三角形 OPQ は \(x\) 軸と垂直である.
PQ の中点を M とおけば \[ \text{PQ} =2a , \ \text{OM} =\sqrt{2} b \] したがって, \(F _ 1\) の体積 \(V _ 1\) は \[\begin{align} V _ 1 & = 2b^2 \pi \cdot 2a -2 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot 2b^2 \pi \cdot a \\ & = \dfrac{8 \pi}{3} ab^2 \\ & = \dfrac{8 \pi}{3} \underline{a(1-a^2)} _ {[1]} \end{align}\] 下線部 [1] が最大となるとき, \(V _ 1\) も最大となる.
[1] を \(f(a)\) とおくと \[ f'(a) =1 -3a^2 = -\left( \sqrt{3} a+1 \right) \left( \sqrt{3} a-1 \right) \] \(f'(a)=0\) をとくと \[ a = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \] なので, \(0 \lt a \lt 1\) における \(f(a)\) の増減は下表のとおり. \[ \begin{array}{c|ccccc} a & (0) & \cdots & \frac{\sqrt{3}}{3} & \cdots & (1) \\ \hline f'(a) & & + & 0 & - & \\ \hline f(a) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow \end{array} \] ここで \[ f \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right) = \dfrac{2 \sqrt{3}}{9} \] よって, 求める最大値は \[ \dfrac{8 \pi}{3} f \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right) = \underline{\dfrac{16 \sqrt{3} \pi}{27}} \]

(2)

対称性から, \(x \geqq 0 , y \geqq 0\) の部分について考える.
PQ , PR と \(x = t \ \left( 0 \leqq t \leqq \dfrac{1}{2} \right)\) 平面との交点を S , T とおくと \[ \text{S} \ \left( t , t , \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) , \quad \text{T} \ \left( t , \dfrac{\sqrt{2}}{2} , \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \] \(F _ 2\) の \(x = t\) 平面における断面は, S , T の書く円周に囲まれた部分になる.
それぞれの半径を \(r _ 2 , R _ 2\) とおくと \[ r _ 2 = \sqrt{t^2 +\dfrac{1}{2}} , \ R _ 2 = 1 \] よって, \(F _ 2\) の断面は下図斜線部となる.

(3)

OP , PR と \(x = t \ ( 0 \leqq t \leqq a )\) 平面との交点を U , V とおくと \[ \text{U} \ \left( t , t , \dfrac{bt}{a} \right) , \quad \text{V} \ \left( t , t , b \right) \] \(F _ 3\) の \(x = t\) 平面における断面は, U , V の書く円周に囲まれた部分になる.
この部分の面積を \(S(t)\) とおくと \[\begin{align} S(t) & = \left( t^2 +b^2 \right) -\left\{ t^2 +\left( \dfrac{bt}{a} \right)^2 \right\} \\ & =b^2 \left( 1 -\dfrac{t^2}{a^2} \right) \end{align}\] したがって, \(F _ 3\) の体積 \(V _ 3\) は \[\begin{align} V _ 3 & = \pi \displaystyle\int _ 0^a S(t) \, dt = \pi b^2 \left[ t -\dfrac{t^3}{3 a^2} \right] _ 0^a \\ & = \dfrac{2 \pi ab^2}{3} = \dfrac{2 \pi}{3} a(1-a^2) \end{align}\] したがって, \(V _ 3\) が最大となるのは (1) と同様のときで, 求める最大値は \[ \dfrac{2 \pi}{3} f \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right) = \underline{\dfrac{4 \sqrt{3} \pi}{27}} \]