以下の問に答えよ.
(1) 複素数 \(\alpha , \beta\) に対して \(\alpha \beta = 0\) ならば, \(\alpha =0\) または \(\beta =0\) であることを示せ.
(2) 複素数 \(\alpha\) に対して \(\alpha^2\) が正の実数ならば, \(\alpha\) は実数であることを示せ.
(3) 複素数 \(\alpha _ 1 , \alpha _ 2 , \cdots , \alpha _ {2n+1}\) （ \(n\) は自然数）に対して, \(\alpha _ 1 \alpha _ 2 , \alpha _ 2 \alpha _ 3 , \cdots , \alpha _ {2n} \alpha _ {2n+1}\) および \(\alpha _ {2n+1} \alpha _ 1\) がすべて正の実数であるとする. このとき, \(\alpha _ 1 , \alpha _ 2 , \cdots , \alpha _ {2n+1}\) はすべて実数であることを示せ.
【 解 答 】
(1)
\(\alpha =a+bi , \, \beta =c+di\) （ \(a , b , c , d\) は実数）とおくと \[ \alpha \beta = (ac-bd) +(ad+bc)i = 0 \] すなわち \[ ac-bd = 0 , \, ad+bc = 0 \] これを用いれば \[\begin{gather} (ac-bd)^2 +(ad+bc)^2 = 0 \\ a^2c^2 +b^2d^2 +a^2d^2 +b^2c^2 = 0 \\ \text{∴} \quad (a^2+b^2)(c^2+d^2) = 0 \end{gather}\] ゆえに \[ a=b=0 \ \text{または} \ c=d=0 \] よって \[ \alpha = 0 \ \text{または} \ \beta = 0 \]
(2)
\(\alpha = a+bi\) （ \(a , b\) は実数）とおくと \[ \alpha^2 = a^2 -b^2 +2abi \] これが正の実数なので \[ a^2 -b^2 \gt 0 , \ ab = 0 \] \(a = 0\) と仮定すると, \(-b^2 \gt 0\) は解をもたず, 不適なので \[ a \neq 0 \ \text{かつ} \ b=0 \] よって, \(\alpha\) は \(0\) でない実数である.
(3)
\(A =\alpha _ 1 \alpha _ 2 \cdot \alpha _ 2 \alpha _ 3 \cdot \cdots \alpha _ {2n} \alpha _ {2n+1} \cdot \alpha _ {2n+1} \alpha _ 1\) とおくと
\[\begin{align}
A & = \alpha _ 1^2 \alpha _ 2^2 \cdots {\alpha _ {2n}}^2 {\alpha _ {2n+1}}^2 \\
& = {\alpha _ 1}^2 ( \alpha _ 2 \alpha _ 3 )^2 \cdots ( \alpha _ {2n} \alpha _ {2n+1})^2
\end{align}\]
ここで, \(( \alpha _ 2 \alpha _ 3 )^2 , \cdots , ( \alpha _ {2n} \alpha _ {2n+1} )^2\) と \(A\) はすべて正の実数なので, \({\alpha _ 1}^2\) も正の実数である.
ゆえに, (2) の結果より, \(\alpha _ 1\) は実数.
同様にすれば, \(\alpha _ 2 , \cdots , \alpha _ {2n+1}\) も, 実数であることが示せるので, 題意は示された.