初項を \(a _ 0 \geqq 0\) とし, 以下の漸化式で定まる数列 \(\{ a _ n \} _ {n=0, 1, \cdots}\) を考える. \[ a _ {n+1} = a _ n -\left[ \sqrt{a _ n} \right] \quad ( n \geqq 0 ) \] ただし \([ x ]\) は \(x\) を超えない最大の整数を表す. つぎの問に答えよ.
(1) \(a _ 0 =24\) とする. このとき, \(a _ n = 0\) となる最小の \(n\) を求めよ.
(2) \(m\) を \(2\) 以上の整数とし, \(a _ 0 = m^2\) とする. このとき, \(1 \leqq j \leqq m\) をみたす \(j\) に対して \(a _ {2j-1} , a _ {2j}\) を \(j\) と \(m\) で表せ.
(3) \(m\) を \(2\) 以上の整数, \(p\) を \(1 \leqq p \leqq m-1\) をみたす整数とし, \(a _ 0 = m^2-p\) とする. このとき, \(a _ k = (m-p)^2\) となる \(k\) を求めよ. さらに, \(a _ n= 0\) となる最小の \(n\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align} a _ 1 & = 24 -\left[ \sqrt{24} \right] = 24-4 =20 , \\ a _ 2 & = 20 -\left[ \sqrt{20} \right] = 20-4 =16 , \\ a _ 3 & = 16 -\left[ \sqrt{16} \right] = 16-4 =12 , \\ a _ 4 & = 12 -\left[ \sqrt{12} \right] = 12-3 =9 , \\ a _ 5 & = 9 -\left[ \sqrt{9} \right] = 9-3 =6 , \\ a _ 6 & = 6 -\left[ \sqrt{6} \right] = 6-2 =4 , \\ a _ 7 & = 4 -\left[ \sqrt{4} \right] = 4-2 =2 , \\ a _ 8 & = 2 -\left[ \sqrt{2} \right] = 2-1 =1 , \\ a _ 9 & = 1 -\left[ \sqrt{1} \right] = 1-1 =0 \end{align}\] よって \[ n = \underline{9} \]
(2)
\[ a _ {2j-1} = (m-j+1)(m-j) , \ a _ {2j} =(m-j)^2 \quad ... [\text{A}] \] \(1 \leqq j \leqq m\) について, [A] が成立することを数学的帰納法を用いて示す.
1* \(j = 1\) のとき \[\begin{align} a _ 1 & = m^2 -m = m(m-1) \\ a _ 2 & = m(m-1) -(m-1) = (m-1)^2 \end{align}\] したがって, このとき [A] は成立する.
2* \(j = k \ ( 1 \leqq k \leqq m-1 )\) のとき, [A] が成立する, すなわち \[ a _ {2k-1} = (m-k+1)(m-k) , \ a _ {2k} = (m-k)^2 \] と仮定すると \[\begin{align} a _ {2k+1} & = (m-k)^2 -(m-k) \\ & = (m-k)(m-k-1) , \\ a _ {2k+2} & =(m-k)(m-k-1) -(m-k-1) \\ & = (m-k-1)^2 \end{align}\] したがって, \(j = k+1\) のときも [A] が成立する.
よって \[ a _ {2j-1} = \underline{(m-j)(m-j+1)} , \ a _ {2j} = \underline{(m-j)}^2 \]
(3)
\[ a _ {2j} = (m-j)^2-p+j \quad ... [\text{B}] \] \(0 \leqq j \leqq p\) について, [B] が成立することを数学的帰納法を用いて示す.
1* \(j = 0\) のとき
\(a _ 0=m^2-p\) なので, [B] は成立している.2* \(j = l \ ( 0 \leqq k \leqq p-1 )\) のとき, [B] が成立する, すなわち \[ a _ {2l} = (m-l)^2-p+l \] と仮定すると \[\begin{align} a _ {2l+1} & = (m-l)^2-p+l -(m-l-1) \\ & = (m-l)(m-l-1) -p+l+1 , \\ a _ {2l+2} & = (m-l)(m-l-1) -p+l+1 -(m-l-1) \\ & = (m-l-1)^2 -p+l+1 \end{align}\] したがって, \(j = l+1\) のときも [B] が成立する.
以上より, \(0 \leqq j \leqq p\) について \[ a _ {2j} = (m-j)^2-p+j \] よって, \(a _ {2p} = (m-p)^2\) なので \[ k = \underline{2p} \] (2) の結果より, \(a _ 0 =m^2\) に対して, \(a _ i = 0\) となる最小の \(i\) は \[ i = 2m-1 \] よって, 求める最小の \(n\) の値は \[ 2p +2(m-p)-1 = \underline{2m-1} \]