表が出る確率 \(a \ \left( 0 \lt a \lt \dfrac{1}{2} \right)\) , 裏が出る確率が \(1-a\) のコインを \(1\) 枚投げる試行を \(n\) 回行う. ただし \(n \geqq 2\) とする. この \(n\) 回の試行の結果, 表が \(2\) 回以上出る事象を \(A _ n\) で表す. また \(1\) 回目から \(n\) 回目の試行が終わるまでに, 「裏→表」の順で出ない事象を \(B _ n\) で表す. つぎの問に答えよ.
(1) 確率 \(P( A _ n ) , \ P( B _ n )\) を求めよ.
(2) 確率 \(P( A _ n \cap B _ n )\) を求めよ.
(3) 極限 \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{P( A _ n ) P( B _ n )}{P( A _ n \cap B _ n )} \] を求めよ. ただし, \(0 \lt r \lt 1\) をみたす \(r\) に対して, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} nr^n =0\) となることを証明なしに用いてもよい.
【 解 答 】
(1)
\(A _ n\) は, 表が出る回数が \(0\) 回, \(1\) 回である事象の余事象なので \[\begin{align} P( A _ n ) & = 1 -(1-a)^n -{} _ {n} \text{C} {} _ 1 a (1-a)^{n-1} \\ & =\underline{1 -(1-a)^n -na(1-a)^{n-1}} \end{align}\] \(B _ n\) は, \(k\) 回目（ \(0 \leqq k \leqq n\) ）まで表が出て, 残りは裏が出る事象なので \[\begin{align} P( B _ n ) & = \textstyle\sum\limits _ {k=0}^n a^k (1-a)^{n-k} \\ & = \dfrac{(1-a)^{n+1}-a^{n+1}}{(1-a)-a} \\ & = \underline{\dfrac{(1-a)^{n+1}-a^{n+1}}{1-2a}} \end{align}\]
(2)
\(A _ n \cap B _ n\) は, \(k\) 回目（ \(2 \leqq k \leqq n\) ）まで表が出て, 残りは裏が出る事象なので \[\begin{align} P( A _ n \cap B _ n ) & = \textstyle\sum\limits _ {k=2}^n a^k (1-a)^{n-k} \\ & = a^2 \textstyle\sum\limits _ {k=0}^{n-2} a^k (1-a)^{n-2-k} \\ & = \underline{\dfrac{a^2 \left\{ (1-a)^{n-1}-a^{n-1} \right\}}{1-2a}} \end{align}\]
(3)
\[\begin{align} \dfrac{P( A _ n ) P( B _ n )}{P( A _ n \cap B _ n )} & = \left\{ 1 -(1-a)^n -na(1-a)^{n-1} \right\} \\ & \qquad \cdot \dfrac{(1-a)^{n+1}-a^{n+1}}{a^2 \left\{ (1-a)^{n-1}-a^{n-1} \right\}} \\ & = \left\{ 1 -(1-a)^n -\frac{a}{1-a} \cdot n(1-a)^{n} \right\} \\ & \qquad \cdot \dfrac{(1-a)^2- a^2 \left( \frac{a}{1-a} \right)^{n-1}}{a^2 \left\{ 1 -\left( \frac{a}{1-a} \right)^{n-1} \right\}} \end{align}\] ここで, \(0 \lt 1-a \lt 1\) , \(0 \lt \frac{a}{1-a} \lt 1\) なので, \(n \rightarrow \infty\) のとき \[\begin{align} & (1-a)^n \rightarrow 0 , \ n (1-a)^n \rightarrow 0 , \\ & \left( \frac{a}{1-a} \right)^{n-1} \rightarrow 0 \end{align}\] なので \[\begin{align} \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} & \dfrac{P( A _ n ) P( B _ n )}{P( A _ n \cap B _ n )} \\ & = \left\{ 1 -0 -\dfrac{a}{1-a} \cdot 0 \right\} \cdot \dfrac{(1-a)^2 -a^2 \cdot 0}{a^2 ( 1-0 )} \\ & = \underline{\dfrac{(1-a)^2}{a^2}} \end{align}\]