\(xyz\) 空間内の平面 \(z = 2\) 上に点 P があり, 平面 \(z = 1\) 上に点 Q がある. 直線 PQ と \(xy\) 平面の交点を R とする.
(1) P \((0,0,2)\) とする. 点 Q が平面 \(z = 1\) 上で点 \((0,0,1)\) を中心とする半径 \(1\) の円周上を動くとき, 点 R の軌跡の方程式を求めよ.
(2) 平面 \(z = 1\) 上に \(4\) 点 A \((1,1,1)\) , B \((1,-1,1)\) , C \((-1,-1,1)\) , D \((-1,1,1)\) をとる. 点 P が平面 \(z = 2\) 上で点 \((0,0,2)\) を中心とする半径 \(1\) の円周上を動き, 点 Q が正方形 ABCD の周上を動くとき, 点 R が動きうる領域を \(xy\) 平面上に図示し, その面積を求めよ.
【 解 答 】
(1)
Q \(( \cos \theta , \sin \theta , 1 )\) とおけるので \[ \overrightarrow{\text{PQ}} = ( \cos \theta , \sin \theta , -1 ) \] R は \(xy\) 平面上にあるので \[\begin{align} \overrightarrow{\text{OR}} & = \overrightarrow{\text{OP}} +2 \overrightarrow{\text{PQ}} \\ & = ( 2 \cos \theta , 2 \sin \theta , 0 ) \end{align}\] よって, 求める方程式は \[ \underline{x^2 +y^2 =4} \]
(2)
Q \((a,b,1)\) に固定して考える.
P \(( \cos \theta , \sin \theta , 2 )\) とおけるので
\[
\overrightarrow{\text{PQ}} = ( a -\cos \theta , b -\sin \theta , -1 )
\]
R は \(xy\) 平面上にあるので
\[\begin{align}
\overrightarrow{\text{OR}} & = \overrightarrow{\text{OP}} +2 \overrightarrow{\text{PQ}} \\
& = ( 2a -\cos \theta , 2b -\sin \theta , 0 )
\end{align}\]
ここで Q を動かせば, R は \(xy\) 平面上の点 \(( 2a , 2b )\) , つまり, \(4\) 点 \((2,2) , (-2,2) , (-2,-2) , (2,-2)\) を頂点とする正方形上の点を中心とする半径 \(1\) の円周上を動く.
よって, R の動きうる領域は下図斜線部（境界含む）.
また, この面積 \(S\) は \[ S = 3^2 \pi -4 \cdot 1^1 +1^2 \pi = \underline{28 +\pi} \]