次の問いに答えよ.
(1) \(k\) を \(0\) 以上の整数とするとき, \[ \dfrac{x}{3} +\dfrac{y}{2} \leqq k \] を満たす \(0\) 以上の整数 \(x , y\) の組 \((x,y)\) の個数を \(a _ k\) とする. \(a _ k\) を \(k\) の式で表せ.
(2) \(n\) を \(0\) 以上の整数とするとき, \[ \dfrac{x}{3} +\dfrac{y}{2} +z \leqq n \] を満たす \(0\) 以上の整数 \(x , y , z\) の組 \((x,y,z)\) の個数を \(b _ n\) とする. \(b _ n\) を \(n\) の式で表せ.
【 解 答 】
(1)
\(\ell\) は整数とする.
1* \(y =2 \ell \ ( 0 \leqq \ell \leqq k )\) のとき \[\begin{align} \dfrac{x}{3} +\ell & \leqq k \\ \text{∴} \quad 0 \leqq x & \leqq 3( k-\ell ) \end{align}\] これをみたす \(x\) の個数は \(3( k-\ell ) +1\) 個.
2* \(y =2 \ell +1 \ ( 0 \leqq \ell \leqq k-1 )\) のとき \[\begin{align} \dfrac{x}{3} +\ell +\dfrac{1}{2} & \leqq k \\ \text{∴} \quad 0 \leqq x & \leqq 3( k-\ell ) -\dfrac{3}{2} \end{align}\] これをみたす \(x\) の個数は \(3( k-\ell ) -1\) 個.
以上より \[\begin{align} a _ k & = \textstyle\sum\limits _ {\ell =0}^{k} \left\{ 3( k-\ell ) +1 \right\} +\textstyle\sum\limits _ {\ell =0}^{k-1} \left\{ 3( k-\ell ) -1 \right\} \\ & = \textstyle\sum\limits _ {\ell =1}^{k} 3 \ell +(k+1) +\textstyle\sum\limits _ {\ell =1}^{k} 3 \ell -k \\ & = 6 \cdot \dfrac{k(k+1)}{2} +1 \\ & =\underline{3k^2+3k+1} \end{align}\]
(2)
\(0 \leqq z \leqq n\) であり \[ \dfrac{x}{3} +\dfrac{y}{2} \leqq n-z \] なので, (1) の結果を用いて \[\begin{align} b _ n & = \textstyle\sum\limits _ {z=0}^{n} a _ {n-z} = \textstyle\sum\limits _ {z=0}^{n} a _ {z} \\ & = \textstyle\sum\limits _ {z=0}^{n} \left\{ (z+1)^3 -z^3 \right\} \\ & = (n+1)^3 -n^3 +n^3 -(n-1)^3 +\cdots +1^3 -0^3 \\ & = \underline{(n+1)^3} \end{align}\]