次の問いに答えよ.
(1) 不定積分 \[ \displaystyle\int x^2 \cos \left( a \log x \right) \, dx \] を求めよ. ただし, \(a\) は \(0\) でない定数とする.
(2) 曲線 \(y = x \cos \left( \log x \right)\) と \(x\) 軸, および \(2\) 直線 \(x = 1\) , \(x = e^{\frac{\pi}{4}}\) で囲まれた図形を, \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる回転体の体積を求めよ.
【 解 答 】
(1)
以下では, \(C\) は積分定数を表す.
\(I _ c = \displaystyle\int x^2 \cos \left( a \log x \right) \, dx\) , \(I _ s = \displaystyle\int x^2 \sin \left( a \log x \right) \, dx\) とおく.
\((a \log x)' =\dfrac{a}{x}\) なので
\[\begin{align}
\displaystyle\int \dfrac{a}{x} \cos \left( a \log x \right) \, dx & = \sin \left( a \log x \right) +C , \\
\displaystyle\int \dfrac{a}{x} \sin \left( a \log x \right) \, dx & = -\cos \left( a \log x \right) +C
\end{align}\]
これを用いて, \(I _ c , I _ s\) を部分積分すると
\[\begin{align}
I _ c & = \dfrac{x^3}{a} \sin \left( a \log x \right) -\displaystyle\int \dfrac{3x^2}{a} \sin \left( a \log x \right) \, dx \\
& = \dfrac{x^3}{a} \sin \left( a \log x \right) -\dfrac{3}{a} I _ s \\
\text{∴} \quad a I _ c & +3 I _ s = x^3 \sin \left( a \log x \right) \quad ... [1] , \\
I _ s & = -\dfrac{x^3}{a} \cos \left( a \log x \right) +\displaystyle\int \dfrac{3x^2}{a} \sin \left( a \log x \right) \, dx \\
& = -\dfrac{x^3}{a} \cos \left( a \log x \right) +\dfrac{3}{a} I _ c \\
\text{∴} \quad 3 I _ c & -a I _ s = x^3 \cos \left( a \log x \right) \quad ... [2]
\end{align}\]
[1] [2] より
\[
I _ c =\underline{\dfrac{x^3 \left\{ a \sin \left( a \log x \right) +3 \cos \left( a \log x \right) \right\}}{a^2+9} +C}
\]
(2)
求める体積 \(V\) は, (1) の結果を用いて \[\begin{align} V & = \pi \displaystyle\int _ {1}^{e^{\frac{\pi}{4}}} x^2 \cos^2 \left( \log x \right) \, dx \\ & =\pi \displaystyle\int _ {1}^{e^{\frac{\pi}{4}}} x^2 \cdot \dfrac{1 +\cos \left( 2 \log x \right)}{2} \, dx \\ & =\dfrac{\pi}{2} \left[ \dfrac{x^3 \left\{ 2 \sin \left( 2 \log x \right) +3 \cos \left( 2 \log x \right) \right\}}{2^2+9} \right] _ {1}^{e^{\frac{\pi}{4}}} \\ & \qquad +\dfrac{\pi}{2} \left[ \dfrac{x^3}{3} \right] _ {1}^{e^{\frac{\pi}{4}}} \\ & = \dfrac{\pi}{2} \left( \dfrac{2 e^{\frac{3 \pi}{4}}}{13} -\dfrac{3}{13} \right) +\dfrac{\pi}{6} \left( e^{\frac{3 \pi}{4}} -1 \right) \\ & = \underline{\dfrac{\pi \left( 19 e^{\frac{3 \pi}{4}} +22 \right)}{78}} \end{align}\]