\(f(x) = \dfrac{1}{3} x^3 -\dfrac{1}{2} ax^2\) とおく. ただし \(a \gt 0\) とする.
(1) \(f(-1) \leqq f(3)\) となる \(a\) の範囲を求めよ.
(2) \(f(x)\) の極小値は \(f(-1)\) 以下となる \(a\) の範囲を求めよ.
(3) \(-1 \leqq x \leqq 3\) における \(f(x)\) の最小値を \(a\) を用いて表せ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align} f(-1) & = -\dfrac{1}{3} -\dfrac{a}{2} \\ f(3) & = 9 -\dfrac{9a}{2} \end{align}\] ゆえに, \(f(-1) \leqq f(3)\) より \[\begin{align} -\dfrac{1}{3} -\dfrac{a}{2} & \leqq 9 -\dfrac{9a}{2} \\ 4a & \leqq \dfrac{28}{3} \\ \text{∴} \quad a & \leqq \dfrac{7}{3} \end{align}\] \(a \gt 0\) なので \[ \underline{0 \lt a \leqq \dfrac{7}{3}} \]
(2)
\[ f'(x) = x^2-ax = x(x-a) \] なので, \(f(x)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & 0 & \cdots & a & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 0 & \searrow & -\dfrac{a^3}{6} & \nearrow \end{array} \] したがって, \(f(a) \leqq f(-1)\) より \[\begin{align} -\dfrac{a^3}{6} \leqq -\dfrac{1}{3} & -\dfrac{a}{2} \\ a^3 -3a -2 & \geqq 0 \\ (a-2)(a+1)^2 & \geqq 0 \\ \text{∴} \quad \underline{a \geqq 2} & \end{align}\]
(3)
\(-1 \leqq x \leqq 3\) において最小値となりうる候補は
\[
f(-1) , \ f(3) , \ f(a) \ ( \ -1\leq a \leqq 3 \text{のときに限る} )
\]
の \(3\) つである.
(1) (2) で, \(f(-1)\) と \(f(3)\) , \(f(-1)\) と \(f(a)\) の大小を比較したので, ここで, \(f(3)\)と \(f(a)\) の大小を比較する.
\(f(a) \leqq f(3)\) より
\[\begin{align}
-\dfrac{a^3}{6} & \leqq 9 -\dfrac{9a}{2} \\
a^3 -27a +54 & \geqq 0 \\
(a+6)(a-3)^2 & \geqq 0 \\
\text{∴} \quad a & = 3 \quad ( \ \text{∵} \ a \gt 0 \ )
\end{align}\]
以上より, 求める最小値は
\[
\underline{\left\{ \begin{array}{ll} -\dfrac{1}{3} -\dfrac{a}{2} & \left( \ 0 \lt a \lt 2 \text{のとき} \right) \\ -\dfrac{a^3}{6} & \left( \ 2 \leqq a \lt 3 \text{のとき} \right) \\ 9 -\dfrac{9a}{2} & \left( \ a \geqq 3 \text{のとき} \right) \end{array} \right.}
\]