\(n\) を自然数とし, \(1\) から \(n\) までの自然数の積を \(n !\) で表す. このとき以下の問いに答えよ.
(1) 単調に増加する連続関数 \(f(x)\) に対して, 不等式 \(\displaystyle\int _ {k-1}^k f(x) \, dx \leqq f(k)\) を示せ.
(2) 不等式 \(\displaystyle\int _ 1^n \log x \, dx \leqq \log n !\) を示し, 不等式 \(n^n e^{1-n} \leqq n !\) を導け.
(3) \(x \geqq 0\) に対して, 不等式 \(x^n e^{1-n} \leqq n !\) を示せ.
【 解 答 】
(1)
\(f(x)\) は単調増加関数なので, \(k-1 \leqq x \leqq k\) において \[ f(x) \leqq f(k) \] 両辺を \(x\) について \(k-1 \rightarrow k\) まで積分すれば \[ \displaystyle\int _ {k-1}^k f(x) \, dx \leqq \displaystyle\int _ {k-1}^k f(k) \, dx = f(k) \] よって \[ \displaystyle\int _ {k-1}^k f(x) \, dx \leqq f(k) \]
(2)
(1) の結果に対して, \(f(x) = \log x\) （単調増加関数）とおき, \(k = 2, \cdots , n\) を代入した辺々を加えると \[\begin{align} \displaystyle\int _ 1^2 \log x \, dx + \cdots +\displaystyle\int _ {n-1}^n \log x \, dx & \leqq \log 2 + \cdots + \log n \\ \text{∴} \quad \displaystyle\int _ 1^n \log x \, dx & \leqq \log n ! \quad ( \ \text{∵} \ \log 1 = 0\ ) \end{align}\] ここで \[\begin{align} \displaystyle\int _ 1^n \log x \, dx & = \left[ x \log x \right] _ 1^n -\displaystyle\int _ 1^n x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \\ & = n \log n +1-n \\ & = \log n^n e^{1-n} \end{align}\] よって, 真数をとれば \[ n^n e^{1-n} \leqq n ! \]
(3)
\(g(x) =x^n e^{1-n}\) とおくと \[\begin{align} g'(x) & = nx^{n-1} e^{1-n} -x^n e^{1-n} \\ & = (n-x) x^{n-1} e^{1-n} \end{align}\] したがって, \(x \geqq 0\) における \(g(x)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|cccc} x & 0 & \cdots & n & \cdots \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - \\ \hline f(x) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow \end{array} \] ゆえに \[ g(x) \leqq g(n) = n^n e^{1-n} \] よって, これと (2) の結果より \[ x^n e^{1-x} \leqq n ! \]