\(a\) を実数とし, \(A = \left( \begin{array}{cc} a+1 & a \\ 3 & a+2 \end{array} \right)\) とする. \(2\) 点 \(P (x,y)\) , \(Q (X,Y)\) について \[ \left( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \] が成り立つとき, \(P\) は \(A\) により \(Q\) に移るという.

1. (1)　原点以外の点で, \(A\) によりそれ自身に移るものが存在するとき, \(a\) を求めよ.

2. (2)　次の条件 (＊) をみたす \(a , k\) を求めよ.

   1. (＊)　直線 \(\ell : \ y = kx+1\) 上のすべての点は, \(A\) により \(\ell\) 上の点に移る.

3. (3)　(＊) をみたす \(a , k\) に対し, 直線 \(\ell\) 上の点で, \(A\) によりそれ自身に移るものを求めよ.

【 解 答 】

(1)

\[\begin{align} A \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \\ (A-E) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{align}\] これが \(\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \neq \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)\) である解をもつのは, 逆行列 \((A-E)^{-1}\) が存在しないときなので \[\begin{align} \det (A-E) = a(a+1) -3a & = 0 \\ a^2-2a & = 0 \\ a(a-2) & = 0 \\ \text{∴} \quad a & = \underline{0 , 2} \end{align}\]

(2)

\(\ell\) 上の点は実数 \(t\) を用いて, \(( t , kt+1 )\) と表せる. \[\begin{align} A \left( \begin{array}{c} t \\ kt+1 \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{c} (a+1)t +a(kt+1) \\ 3t +(a+2)(kt+1) \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{c} (ak+a+1)t +a \\ (ak+2k+3)t +a+2 \end{array} \right) \end{align}\] この点も \(\ell\) 上にあるので \[\begin{align} (ak+2k+3)t +a+2 & = k \left\{ (ak+a+1)t +a \right\} +1 \\ \text{∴} \quad (ak^2-k-3)t & +ak -a-1 = 0 \end{align}\] これがすべての \(t\) について成立するので \[ ak^2-k-3 = 0 \quad ... [1] , \ ak-a-1 = 0 \quad ... [2] \] [2] より \(k \neq 1\) なので \[ a = \dfrac{1}{k-1} \quad ... [3] \] [1] に代入すれば \[\begin{align} \dfrac{k^2}{k-1} & -k -3 = 0 \\ k^2 & = (k-1)(k+3) \\ \text{∴} \quad k & = \underline{\dfrac{3}{2}} \end{align}\] [3] に代入して \[ a = \dfrac{1}{\frac{3}{2}-1} = \underline{2} \]

(3)

(2) の結果より \[ A = \left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right) , \ \ell : \ y = \dfrac{3}{2}x +1 \] なので \[\begin{gather} \left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ \dfrac{3}{2}x +1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x \\ \dfrac{3}{2}x +1 \end{array} \right) \\ \text{∴} \quad \left\{ \begin{array}{l} 3x +3x+2 =x \\ 3x +6x +4 = \dfrac{3}{2}x +1 \end{array} \right. \end{gather}\] \(2\) 式はいずれも \[\begin{align} 5x+2 & = 0 \\ \text{∴} \quad x & = -\dfrac{2}{5} \end{align}\] \(\ell\) の式より \[ y = \dfrac{3}{2} \left( -\dfrac{2}{5} \right) +1 = \dfrac{5}{2} \] よって, 求める点は \[ \underline{\left( -\dfrac{2}{5} , \dfrac{2}{5} \right)} \]