直線 \(\ell : \ mx+ny = 1\) が, 楕円 \(C : \ \dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{y^2}{b^2} =1 \ ( a \gt b \gt 0 )\) に接しながら動くとする.
(1) 点 \((m,n)\) の軌跡は楕円になることを示せ.
(2) \(C\) の焦点 \(F _ 1 \left( -\sqrt{a^2-b^2} , 0 \right)\) と \(\ell\) との距離を \(d _ 1\) とし, もう \(1\) つの焦点 \(F _ 2 \left( \sqrt{a^2-b^2} , 0 \right)\) と \(\ell\) との距離を \(d _ 2\) とする. このとき \(d _ 1 d _ 2 = b^2\) を示せ.
【 解 答 】
(1)
\(C\) 上の点 \(( a \cos \theta , b \sin \theta) \ ( 0 \leqq \theta \lt 2\pi )\) における接線の式は \[\begin{align} \dfrac{x (a \cos \theta)}{a^2} +\dfrac{y (b \sin \theta)}{b^2} & = 1 \\ \dfrac{x \cos \theta}{a} +\dfrac{y \sin \theta}{b} & = 1 \end{align}\] これと \(\ell\) の式を比較すれば \[ m = \dfrac{\cos \theta}{a} , \ n =\dfrac{\sin \theta}{b} \] したがって, 点 \((m,n)\) の軌跡は \[ \underline{\text{楕円} : \ a^2x^2+b^2y^2 = 1} \]
(2)
[1] を変形すると \[ x b \cos \theta +y a \sin \theta -ab = 0 \] これを用いると \[\begin{align} d _ 1 & = \dfrac{\left| -b \sqrt{a^2-b^2} \cos \theta -ab \right|}{\sqrt{b^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta}} \\ & = b \cdot \dfrac{a +\sqrt{a^2-b^2} \cos \theta}{\sqrt{a^2 -(a^2-b^2) \cos^2 \theta}} , \\ d _ 2 & = \dfrac{\left| b \sqrt{a^2-b^2} \cos \theta -ab \right|}{\sqrt{b^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta}} \\ & = b \cdot \dfrac{a -\sqrt{a^2-b^2} \cos \theta}{\sqrt{a^2 -(a^2-b^2) \cos^2 \theta}} \end{align}\] よって \[ d _ 1 d _ 2 = b^2 \cdot \dfrac{a^2 -(a^2-b^2) \cos^2 \theta}{a^2 -(a^2-b^2) \cos^2 \theta} = b^2 \]