\(s , t\) を実数とする. 以下の問いに答えよ.
(1) \(x = s+t+1 , \ y = s-t-1\) とおく. \(s , t\) が \(s \geqq 0 , \ t \geqq 0\) の範囲を動くとき, 点 \((x,y)\) の動く範囲を座標平面内に図示せよ.
(2) \(x = st+s-t+1 , \ y = s+t-1\) とおく. \(s , t\) が実数全体を動くとき, 点 \((x,y)\) の動く範囲を座標平面内に図示せよ.
【 解 答 】
(1)
条件より \[ \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) +s \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) +t \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) \] これと \(s \geqq 0 , \ t \geqq 0\) より, 求める範囲は下図斜線部（境界含む）.
(2)
\(t = y-s+1\) なので, \(t\) を消去すると \[\begin{align} x & = s( y-s+1 ) +s -( y-s+1 ) +1 \\ \text{∴} \quad & s^2 -(y+3)s +x+y = 0 \end{align}\] 実数 \(s\) が存在するので, 判別式 \(D\) について \[\begin{align} D & = (y+3)^2 -4(x+y) \geqq 0 \\ 4x & \leqq y^2+2y+9 \\ \text{∴} \quad x & \leqq \dfrac{(y+1)^2}{4} +2 \end{align}\] よって, 求める範囲は下図斜線部（境界含む）.
