\(m\) を実数とする. 座標平面上で直線 \(y = x\) に関する対称移動を表す \(1\) 次変換を \(f\) とし, 直線 \(y = mx\) に関する対称移動を表す \(1\) 次変換を \(g\) とする. 以下の問いに答えよ.
(1) \(1\) 次変換 \(g\) を表す行列 \(A\) を求めよ.
(2) 合成変換 \(g \circ f\) を表す行列 \(B\) を求めよ.
(3) \(B^3 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) となる \(m\) をすべて求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(g\) によって, 次の \(2\) 点は \[ (1,m) \rightarrow (1,m) , \ (-m,1) \rightarrow (m,-1) \] と移動するので \[ A \left( \begin{array}{cc} 1 & -m \\ m & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & m \\ m & -1 \end{array} \right) \] よって, 両辺右から \(\left( \begin{array}{cc} 1 & m \\ m & 1 \end{array} \right)^{-1}\) を掛けて \[\begin{align} A & =\dfrac{1}{1+m^2} \left( \begin{array}{cc} 1 & m \\ m & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & m \\ -m & 1 \end{array} \right) \\ & =\underline{\dfrac{1}{1+m^2} \left( \begin{array}{cc} 1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1 \end{array} \right)} \end{align}\]
(2)
(1) の結果より, \(f\) を表す行列 \(C\) は \[ C = \dfrac{1}{2} \left( \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \] なので \[\begin{align} B & = AC \\ & =\dfrac{1}{1+m^2} \left( \begin{array}{cc} 1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \\ & =\underline{\dfrac{1}{1+m^2} \left( \begin{array}{cc} 2m & 1-m^2 \\ m^2-1 & 2m \end{array} \right)} \end{align}\]
(3)
\[
\left( \dfrac{2m}{1+m^2} \right)^2 +\left( \dfrac{1-m^2}{1+m^2} \right)^2 = 1
\]
なので, \(0 \leqq \theta \lt 2\pi\) を用いて
\[
\cos \theta =\dfrac{2m}{1+m^2} , \ \sin \theta =\dfrac{1-m^2}{1+m^2} \quad ... [1]
\]
とおいて
\[
B = \left( \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right)
\]
と表せる.
したがって
\[\begin{align}
B^3 & = \left( \begin{array}{cc} \cos 3 \theta & -\sin 3 \theta \\ \sin 3 \theta & \cos 3 \theta \end{array} \right) = E \\
\text{∴} \quad & \cos 3 \theta =1 , \ \sin 3 \theta = 0
\end{align}\]
したがって, 整数 \(n\) を用いて
\[\begin{align}
3 \theta & = 2n \pi \\
\text{∴} \quad \theta = 0 , & \dfrac{2 \pi}{3} , \dfrac{4 \pi}{3}
\end{align}\]
1* \(\theta = 0\) すなわち \(\cos \theta = 1\) のとき
[1] より \[\begin{align} \dfrac{2m}{1+m^2} & = 0 \\ \text{∴} \quad m & = 0 \end{align}\]2* \(\theta = \dfrac{2 \pi}{3} , \dfrac{4 \pi}{3}\) すなわち \(\cos \theta = -\dfrac{1}{2}\) のとき
[1] より \[\begin{align} \dfrac{2m}{1+m^2} & = -\dfrac{1}{2} \\ m^2 +4m +1 & = 0 \\ \text{∴} \quad m & = -2 \pm \sqrt{3} \end{align}\]
以上より \[ m = \underline{0 , -2 \pm \sqrt{3}} \]