長さ \(1\) の線分 AB を直径とする円周 \(C\) 上に点 P をとる. ただし, P は点 A , B とは一致していないとする. 線分 AB 上の点 Q を \(\angle \text{BPQ} =\dfrac{\pi}{3}\) となるようにとり, 線分 BP の長さを \(x\) とし, 線分 PQ の長さを \(y\) とする. 以下の問いに答えよ.
(1) \(y\) を \(x\) を用いて表せ.
(2) 点 P が \(2\) 点 A , B を除いた円周 \(C\) 上を動くとき, \(y\) が最大となる \(x\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
△APB の面積に着目すれば \[\begin{align} \dfrac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} & = \dfrac{1}{2} xy \sin \dfrac{\pi}{3} +\dfrac{1}{2} y\sqrt{1-x^2} \sin \dfrac{\pi}{6} \\ 2x \sqrt{1-x^2} & = \sqrt{3} xy +y\sqrt{1-x^2} \\ \text{∴} \quad y & =\underline{\dfrac{2x \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{3} x +\sqrt{1-x^2}}} \end{align}\]
(2)
\(0 \lt x \lt 1\) なので, \(x = \cos \theta \ \left( 0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2} \right)\) とおくと, \(\sqrt{1 -x^2} = \sin \theta\) と表せて \[ y = \dfrac{2 \sin \theta \cos \theta}{\sqrt{3} \cos \theta +\sin \theta} \] これを \(f( \theta )\) とおけば \[\begin{align} f'( \theta ) & = 2 \cdot \dfrac{\left( \cos^2 \theta -\sin^2 \theta \right) \left( \sqrt{3} \cos \theta +\sin \theta \right) -\sin \theta \cos \theta \left( -\sqrt{3} \sin \theta +\cos \theta \right)}{\left( \sqrt{3} \cos \theta +\sin \theta \right)^2} \\ & = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3} \cos^3 \theta -\sin^3 \theta}{\left( \sqrt{3} \cos \theta +\sin \theta \right)^2} \\ & = 2 \cdot \dfrac{\cos^3 \theta \left( \sqrt{3} -\tan^3 \theta \right)}{\left( \sqrt{3} \cos \theta +\sin \theta \right)^2} \end{align}\] ここで \(\tan^3 \alpha = \sqrt{3} \ \left( 0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2} \right)\) をみたす \(\alpha\) をおくと, \(f( \theta )\) の \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) における増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccc} \theta & (0) & \cdots & \alpha & \cdots & \left( \frac{\pi}{2} \right) \\ \hline f'( \theta ) & & + & 0 & - & \\ \hline f( \theta ) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array} \] よって, \(y\) を最大にする \(x\) は \[\begin{align} x & = \sqrt{\dfrac{1}{1+\tan^2 \alpha}} \\ & =\underline{\dfrac{1}{\sqrt{1 +\sqrt[3]{3}}}} \end{align}\]