平面上に長さ \(3\) の線分 OA を考え, ベクトル \(\overrightarrow{\text{OA}}\) を \(\overrightarrow{a}\) で表す. \(0 \lt t \lt 1\) を満たす実数 \(t\) に対して, \(\overrightarrow{\text{OP}} = t \overrightarrow{a}\) となるように点 P を定める. 大きさ \(2\) のベクトル \(\overrightarrow{b}\) を \(\overrightarrow{a}\) と角 \(\theta \ ( 0 \lt \theta \lt \pi )\) をなすようにとり, 点 B を \(\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}\) で定める. 線分 OB の中点を Q とし, 線分 AQ と線分 BP の交点を R とする.
　このとき, どのように \(\theta\) をとっても \(\overrightarrow{\text{OR}}\) と \(\overrightarrow{\text{AB}}\) が垂直にならないような \(t\) の値の範囲を求めよ.

【 解 答 】

\(\overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}\) とおくと \[ \left| \overrightarrow{a} \right| = 3 , \ \left| \overrightarrow{b} \right| = 2 , \ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 6 \cos \theta \ . \] メネラウスの定理を用いると \[\begin{align} \dfrac{\text{AP}}{\text{PO}} \cdot \dfrac{\text{OB}}{\text{BQ}} \cdot \dfrac{\text{QR}}{\text{RA}} & = 1\\ \dfrac{1-t}{t} \cdot \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{\text{QR}}{\text{RA}} & = 1 \\ \text{∴} \quad \dfrac{\text{QR}}{\text{RA}} = \dfrac{t}{2(1-t)} & \ . \end{align}\] なので \[\begin{align} \overrightarrow{\text{OR}} & = \dfrac{t \overrightarrow{\text{OA}} +2(1-t) \overrightarrow{\text{OQ}}}{t +2(1-t)} \\ & = \dfrac{t \overrightarrow{a} +(1-t) \overrightarrow{b}}{2-t} \ . \end{align}\] したがって \[\begin{align} \overrightarrow{\text{OR}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} & = \dfrac{1}{2-t} \left\{ t \overrightarrow{a} +(1-t) \overrightarrow{b} \right\} \cdot \left( \overrightarrow{b} -\overrightarrow{a} \right) \\ & = \dfrac{1}{2-t} \left\{ (1-t) \left| \overrightarrow{b} \right|^2 -t \left| \overrightarrow{a} \right|^2 +(2t-1) \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \right\} \\ & = \dfrac{1}{2-t} \left\{ 4(1-t) -9t +6(2t-1) \cos \theta \right\} \\ & = \dfrac{1}{2-t} \underline{\left\{ 4-13t +6(2t-1) \cos \theta \right\}} _ {\text{[A]}} \ . \end{align}\] したがって, 下線部 [A] が \(0\) にならない条件を求めればよい.
\(u =\cos \theta\) とおくと, \(0 \lt \theta \lt \pi\) より \[ -1 \lt u \lt 1 \ . \] 下線部 [A] を \(u\) の関数とみなして \(f(u)\) とおくと, これは高々 \(1\) 次関数である. \[\begin{align} f(1) & = 4-13t +6(2t-1) \\ & = -2-t \lt 0 \quad ( \ \text{∵} \ 0 \lt t \lt 1 \ ) \ . \end{align}\] なので, 求める条件は \[\begin{align} f(-1) & \leqq 0 \\ 4-13t -6(2t-1) & \leqq 0 \\ 10-25t & \leqq 0 \\ \text{∴} \quad t & \geqq \dfrac{2}{5} \ . \end{align}\] よって, \(0 \lt t \lt 1\) とあわせて \[ \underline{\dfrac{2}{5} \leqq t \lt 1} \ . \]