行列 \[ A = \left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 4 & -1 \end{array} \right) \] の表す \(1\) 次変換を \(f\) とする. \(f\) による点 P \((1,1)\) の像を \(\text{P} {} _ 1\) とする. 正の整数 \(n\) に対し, \(\text{P} {} _ n\) の \(f\) による像を \(\text{P} {} _ {n+1}\) とする. \(\text{P} {} _ n\) が点 \((10, 10)\) に最も近くなるときの \(n\) の値を求めよ.

【 解 答 】

\(\text{P} {} _ n \ ( x _ n , y _ n )\) , \(\text{P} = \text{P} {} _ 0\) とおく. \[ \left( \begin{array}{c} x _ 1 \\ y _ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 4 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) \ . \] また \[ \left( \begin{array}{c} x _ {n+1} \\ y _ {n+1} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 4 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x _ n \\ y _ n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3 x _ n -y _ n \\ 4 x _ n -y _ n \end{array} \right) \ . \] ここから \[ y _ n = 3 x _ n -x _ {n+1} \quad ... [1] \ . \] なので, 代入して \[\begin{align} 3 x _ {n+1} -x _ {n+2} & = 4 x _ n -( 3x _ n -x _ {n+1} ) \\ \text{∴} \quad x _ {n+2} -x _ {n+1} & = x _ {n+1} -x _ {n} \ . \end{align}\] これを繰返し用いれば \[ x _ {n+1} -x _ n = x _ 1 -x _ 0 = 1 \ . \] したがって \[ x _ n = x _ 0 +n = n+1 \ . \] [1] に代入して \[ y _ n = 3(n+1) -(n+2) = 2n+1 \ . \] \(\text{P} {} _ n\) と点 \((10, 10)\) の距離の平方を \(f(n)\) とおき, \(f(n)\) を最小にする自然数 \(n\) を求めればよい. \[\begin{align} f(n) & = ( 10-x _ n )^2 +( 10-y _ n )^2 \\ & = ( 9-n )^2 +( 9-2n )^2 \\ & = 5n^2 -54n +162 \\ & = 5 \left( n -\dfrac{27}{5} \right)^2 +162 -\dfrac{27^2}{5} \ . \end{align}\] \(f(n)\) は \(n\) の \(2\) 次関数であり, \(\dfrac{27}{5} =5.4\) なので, \(f(n)\) を最小とする, すなわち求める自然数は \[ n = \underline{5} \ . \]