\(f(x) = x^3+3x^2-9x\) とする. \(y \lt x \lt a\) を満たすすべての \(x , y\) に対して \[ f(x) \gt \dfrac{(x-y) f(a) +(a-x) f(y)}{a-y} \] が成り立つような \(a\) の範囲を求めよ.
【 解 答 】
\[\begin{align}
f(x) & \gt \dfrac{(x-y) f(a) +(a-x) f(y)}{a-y} \\
(a-y) f(x) +x f(x) & \gt (x-y) f(a) +(a-x) f(y) +x f(x) \\
(x-y) \{ f(x) -f(a) \} & \gt (a-x) \{ f(y) -f(x) \} \\
\text{∴} \quad \dfrac{f(x) -f(y)}{x-y} & \gt \dfrac{f(a) -f(x)}{a-x} \quad ... [1]
\end{align}\]
中間値の定理より, \(y \lt c _ 1 \lt x \lt c _ 2 \lt a\) で
\[
f'(c _ 1) = \dfrac{f(x) -f(y)}{x-y} , \ f'(c _ 2) = \dfrac{f(a) -f(x)}{a-x}
\]
をみたす \(c _ 1 , c _ 2\) が存在する.
これを用いれば, [1] は
\[
f'(c _ 1) \gt f'(c _ 2)
\]
これが常に成立するのは, \(x \leqq a\) において, \(f'(x)\) が単調減少するとき, すなわち \(f''(x) \lt 0\) となるときである.
\[\begin{align}
f'(x) & = 3x^2 +6x , \\
f''(x) & = 6x +6 =6(x+1)
\end{align}\]
したがって
\[\begin{align}
f''(a) & = 6(a+1) \leqq 0 \\
\text{∴} \quad & \underline{a \leqq -1}
\end{align}\]