\(a, b, c\) を実数とする. 以下の問いに答えよ.
(1) \(a+b=c\) であるとき, \(a^3+b^3+3abc = c^3\) が成り立つことを示せ.
(2) \(a+b \geqq c\) であるとき, \(a^3+b^3+3abc \geqq c^3\) が成り立つことを示せ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align} a^3 & +b^3-c^3+3abc \\ & = ( a+b-c ) \underline{( a^2+b^2+c^2 +2ab-2bc-2ca )} _ {[1]} \\ & = 0 \quad ( \ \text{∵} \ a+b-c = 0 \ ) \end{align}\] よって \[ a^3+b^3+3abc = c^3 \]
(2)
[1] について \[ [1] = \dfrac{1}{2} \left\{ (a+b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2 \right\} \geqq 0 \] なので \[ a^3+b^3-c^3+3abc \geqq a+b-c \geqq 0 \quad ( \ \text{∵} \ a+b-c \geqq 0 \ ) \] よって \[ a^3+b^3+3abc \geqq c^3 \]