\(a\) を \(0 \leqq a \leqq \dfrac{\pi}{2}\) を満たす実数とする. 以下の問いに答えよ.
(1) 実数 \(\theta\) に対して \(\sin \theta\) と \(\sin ( \theta -2a )\) のうち小さくないほうを \(f( \theta )\) とおく. すなわち, \[\begin{align} \sin \theta \geqq \sin ( \theta -2a ) \text{のとき} , & \quad f( \theta ) = \sin \theta \\ \sin \theta \lt \sin ( \theta -2a ) \text{のとき} , & \quad f( \theta ) = \sin ( \theta -2a ) \end{align}\] となる関数 \(f( \theta )\) を考える. このとき定積分 \[ I = \displaystyle\int _ 0^{\pi} f( \theta ) \, d \theta \] を求めよ.
(2) \(a\) を \(0 \leqq a \leqq \dfrac{\pi}{2}\) の範囲で動かすとき, (1) の \(I\) の最大値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
上図から考えて \[ f( \theta ) =\left\{ \begin{array}{ll} \sin \theta & \left( \ 0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2} +a \text{のとき} \right) \\ \sin ( \theta -2a ) & \left( \ \dfrac{\pi}{2} +a \lt \theta \leqq \pi \text{のとき} \right) \end{array} \right. \] よって \[\begin{align} I & = \displaystyle\int _ 0^{\frac{\pi}{2} +a} \sin \theta \, d \theta +\displaystyle\int _ {\frac{\pi}{2} +a}^{\pi} \sin ( \theta -2a ) \, d \theta \\ & = \left[ -\cos \theta \right] _ 0^{\frac{\pi}{2} +a} +\left[ -\cos ( \theta -2a ) \right] _ {\frac{\pi}{2} +a}^{\pi} \\ & = -\cos \left( \dfrac{\pi}{2} +a \right) +1 -\cos \left( \pi -2a \right) +\cos \left( \dfrac{\pi}{2} -a \right) \\ & = \sin a +1 +\cos 2a +\sin a \\ & = \underline{\cos 2a +2 \sin a +1} \end{align}\]
(2)
\[\begin{align} I & = 2 \left( 1 -\sin^2 a \right) +2\sin a \\ & = -2 \left( \sin a -\dfrac{1}{2} \right)^2 +\dfrac{5}{2} \end{align}\] \(0 \leqq a \leqq \dfrac{\pi}{2}\) より \(0 \leqq \sin a \leqq 1\) なので, 求める最大値は \[ \underline{\dfrac{5}{2} \quad \left( a = \dfrac{\pi}{6} \text{のとき} \right)} \]