点 P が次のルール (i) , (ii) に従って数直線上を移動するものとする.
(i) \(1, 2, 3, 4, 5, 6\) の目が同じ割合で出るサイコロを振り, 出た目の数を \(k\) とする. P の座標 \(a\) について, \(a \gt 0\) ならば座標 \(a-k\) の点へ移動し, \(a \lt 0\) ならば座標 \(a+k\) の点へ移動する.
(ii) 原点に移動したら終了し, そうでなければ (i) を繰り返す.
このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) P の座標が \(1, 2, \cdots , 6\) のいずれかであるとき, ちょうど \(3\) 回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ.
(2) P の座標が \(1, 2, \cdots , 6\) のいずれかであるとき, ちょうど \(m\) 回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ.
(3) P の座標が \(8\) であるとき, ちょうど \(n\) 回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ.
【 解 答 】
(1)
P の座標を \(p\) と表す.
\(1 \leqq |p| \leqq 6\) のとき
\(k = |p|\) となれば終了する.
それ以外の場合は, \(1 \leqq |p| \leqq 5\) の点に移動する.
よって, 求める確率は \[ \left( \dfrac{5}{6} \right)^2 \dfrac{1}{6} =\underline{\dfrac{25}{216}} \]
(2)
(1) と同様に考えればよいので, 求める確率は \[ \left( \dfrac{5}{6} \right)^{m-1} \dfrac{1}{6} =\underline{\dfrac{5^{m-1}}{6^m}} \]
(3)
1* \(n = 1\) のとき, 終了することはない.
2* \(n = 2\) のとき
\(1\) 回目に \(2\) ～ \(6\) が出て, \(2\) 回目に \(p\) が出ればよいので \[ \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{36} \]3* \(n \geqq 3\) のとき
\(2\) 回目までに終了しない場合は, \(n-2\) 回目で終了すればよいので, (2) の結果を用いて \[ \left( 1 -\dfrac{5}{36} \right) \cdot \dfrac{5^{n-3}}{6^{n-2}} = \dfrac{31 \cdot 5^{n-3}}{6^n} \]
以上より \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 0 & ( \ n=1 \text{のとき} ) \\ \dfrac{5}{36} & ( \ n=2 \text{のとき} ) \\ \dfrac{31 \cdot 5^{n-1}}{6^n} & ( \ n \geqq 3 \text{のとき} ) \\ \end{array} \right.} \]