\(k \gt 1\) として, \(f(x) = x^2+2kx\) とおく. 曲線 \(y=f(x)\) と円 \(C : \ x^2+y^2 = 1\) の \(2\) つの交点の内で, 第 \(1\) 象限にあるものを P とし, 第 \(3\) 象限にあるものを Q とする. 点 O \((0, 0)\) , A \((1, 0)\) , B \((-1, 0)\) に対して, \(\alpha = \angle \text{AOP}\) , \(\beta = \angle \text{BOQ}\) とおくとき, 以下の問いに答えよ.
(1) \(k\) を \(\alpha\) で表せ.
(2) 曲線 \(y=f(x)\) と円 \(C\) で囲まれる \(2\) つの図形の内で, \(y = f(x)\) の上側にあるものの面積 \(S(k)\) を \(\alpha\) と \(\beta\) で表せ.
(3) \(\displaystyle\lim _ {k \rightarrow \infty} S(k)\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
P \(( \cos \alpha , \sin \alpha )\) が \(y=f(x)\) 上にあるので \[\begin{align} \sin \alpha & = \cos^2 \alpha +2k \cos \alpha \\ \text{∴} \quad k & = \underline{\dfrac{\tan \alpha -\cos \alpha}{2}} \quad ( \ \text{∵} \ \cos \alpha \neq 0 \ ) \quad ... [1] \end{align}\]
(2)
Q \(( -\cos \beta , -\sin \beta )\) も \(y=f(x)\) 上にあるので \[\begin{align} -\sin \beta & = \cos^2 \beta -2k \cos \beta \\ \text{∴} \quad k & = \dfrac{\tan \beta +\cos \beta}{2} \quad ( \ \text{∵} \ \cos \beta \neq 0 \ ) \quad ... [2] \end{align}\] おうぎ形 OPQ の面積は \[ \dfrac{1}{2} \cdot 1^2 ( \pi -\alpha +\beta ) = \dfrac{\pi -\alpha +\beta}{2} \] 線分 OP と \(y = f(x)\) に囲まれる部分の面積は \[\begin{align} \displaystyle\int _ 0^{\cos \alpha} & \left\{ ( \tan \alpha ) x -( x^2+2kx ) \right\} \, dx \\ & = \displaystyle\int _ 0^{\cos \alpha} \left\{ ( 2\cos \alpha ) x -x^2 \right\} \, dx \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ ) \\ & = \left[ ( \cos \alpha ) x^2 -\dfrac{x^3}{3} \right] _ 0^{\cos \alpha} \\ & = \dfrac{\cos^3 \alpha}{6} \end{align}\] 線分 OQ と \(y = f(x)\) に囲まれる部分の面積は \[\begin{align} \displaystyle\int _ {-\cos \beta}^0 & \left\{ ( \tan \beta ) x -( x^2+2kx ) \right\} \, dx \\ & = \displaystyle\int _ {-\cos \beta}^0 \left\{ ( -2\cos \beta ) x -x^2 \right\} \, dx \quad ( \ \text{∵} \ [2] \ ) \\ & = \left[ ( -\cos \alpha ) x^2 -\dfrac{x^3}{3} \right] _ {-\cos \beta}^0 \\ & = \dfrac{\cos^3 \beta}{6} \end{align}\] 以上より, 求める面積 \(S(k)\) は \[ S(k) = \underline{\dfrac{\pi -\alpha +\beta}{2} +\dfrac{\cos^3 \alpha}{6} +\dfrac{\cos^3 \beta}{6}} \]
(3)
[1] [2] より \[ k = \dfrac{\tan \alpha -\cos \alpha}{2} = \dfrac{\tan \beta +\cos \beta}{2} \] \(-1 \leqq \cos \alpha \leqq 1\) , \(-1 \leqq \cos \beta \leqq 1\) なので, \(k \rightarrow \infty\) のとき \[\begin{align} \tan \alpha \rightarrow \infty & , \ \tan \beta \rightarrow \infty \\ \text{∴} \quad \alpha \rightarrow \dfrac{\pi}{2} +0 & , \ \beta \rightarrow \dfrac{\pi}{2} +0 \end{align}\] よって, (2) の結果より \[\begin{align} \displaystyle\lim _ {k \rightarrow \infty} S(k) & = \dfrac{\pi -\frac{\pi}{2} +\frac{\pi}{2}}{2} +\dfrac{0}{6} +\dfrac{0}{6} \\ & = \underline{\dfrac{\pi}{2}} \end{align}\]