\(n\) を \(2\) 以上の整数とする. 平面上に \(n+2\) 個の点O, \(\text{P} {} _ 0 , \text{P} {} _ 1 , \cdots , \text{P} {} _ n\) があり, 次の \(2\) つの条件をみたしている.
- [1] \(\angle \text{P} {} _ {k-1} \text{OP} {} _ {k} = \dfrac{\pi}{n} \quad ( \ 1 \leqq k \leqq n \ )\) , \(\angle \text{OP} {} _ {k-1} \text{P} {} _ {k} = \angle \text{OP} {} _ {0} \text{P} {} _ {1} \ ( \ 2 \leqq k \leqq n \ )\) .
- [2] 線分 \(\text{OP} {} _ {0}\) の長さは \(1\) , 線分 \(\text{OP} {} _ {1}\) の長さは \(1 +\dfrac{1}{n}\) である.
線分 \(\text{P} {} _ {k-1} \text{P} {} _ {k}\) の長さを \(a _ k\) とし, \(s _ k = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} a _ k\) とおくとき, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} s _ n\) を求めよ.
条件より, \(\triangle \text{OP} {} _ {k-2} \text{P} {} _ {k-1} \sim \triangle \text{OP} {} _ {k} \text{P} {} _ {k-1}\) であり, 相似比は \(1+\dfrac{1}{n} : 1\) である.
したがって
\[
a _ {k+1} = \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)
\]
また, \(\triangle \text{OP} {} _ {0} \text{P} {} _ {1}\) について余弦定理より
\[\begin{align}
a _ 1 & = \sqrt{1^2 +\left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^2 -2 \cdot 1 \left( 1+\dfrac{1}{n} \right) \cos \dfrac{\pi}{n}} \\
& = \dfrac{1}{n} \sqrt{2 n (n+1) +1 -2n (n+1) \left( 1 -2 \sin^2 \dfrac{\pi}{2n} \right)} \\
& = \dfrac{1}{n} \sqrt{1 +4n(n+1) \sin^2 \dfrac{\pi}{2n}}
\end{align}\]
したがって
\[
a _ k = \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^{k-1} a _ 1
\]
これらを用いれば
\[\begin{align}
s _ k & = a _ 1 \textstyle\sum\limits _ {k=0}^{n} \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^{k-1} \\
& = a _ 1 \cdot \dfrac{\left( 1 +\frac{1}{n} \right)^n -1}{1 +\frac{1}{n} -1} \\
& = \left\{ \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n -1 \right\} \sqrt{1 +\dfrac{4n(n+1)}{\frac{4n^2}{\pi^2}} \left( \dfrac{\sin \frac{\pi}{2n}}{\frac{\pi}{2n}} \right)^2} \\
& \rightarrow ( e-1 ) \sqrt{1 +\pi^2} \quad ( \ n \rightarrow \infty \ \text{のとき} )
\end{align}\]
よって, 求める値は
\[
\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} s _ n = \underline{( e-1 ) \sqrt{1 +\pi^2}}
\]