座標平面上の \(2\) 点 P , Q が, 曲線 \(y=x^2 \ ( -1 \leqq x \leqq 1 )\) 上を自由に動くとき, 線分 PQ を \(1 : 2\) に内分する点 R が動く範囲を \(D\) とする. ただし, \(\text{P} = \text{Q}\) のときは \(\text{R} = \text{P}\) とする.
(1) \(a\) を \(-1 \leqq a \leqq 1\) をみたす実数とするとき, 点 \((a,b)\) が \(D\) に属するための \(b\) の条件を \(a\) を用いて表せ.
(2) \(D\) を図示せよ.
【 解 答 】
(1)
P \(( p, p^2 )\) , Q \(( q, q^2 )\) \(( -1 \leqq p \leqq 1 , -1 \leqq q \leqq 1\ \ ... [1] ) \) とおく.
このとき
\[\begin{align}
a & = \dfrac{2p+q}{3} \quad ... [2] \\
b & = \dfrac{2p^2+q^2}{3} \quad ... [3]
\end{align}\]
[2] より, \(q = 3a-2p\) なので, [3] に代入すると
\[
3b = 2p^2 +( 3a-2p )^2
\]
ゆえに
\[\begin{align}
b & = 3a^2 -4pa +2p^2 \\
& = 2(p-a)^2 +a^2 \geqq a^2
\end{align}\]
また, [1] より
\[\begin{align}
& -1 \leqq 3a-2p \leqq 1 \\
\text{∴} \quad & \dfrac{3a-1}{2} \leqq p \leqq \dfrac{3a+1}{2} \quad ... [4]
\end{align}\]
したがって, \(b = f(p)\) とおいて, [1] かつ [4] において取り得る値の範囲を求めればよい.
最小値, 最大値の候補は
\(f(a) = a^2\)
（ただし, 最小値にのみなりえる）\(f(-1) = 3a^2+4a+2 = 3 \left( a +\dfrac{2}{3} \right)^2 +\dfrac{2}{3}\)
（ただし, \(\dfrac{3a-1}{2} \leqq -1 \leqq \dfrac{3a+1}{2}\) すなわち \(-1 \leqq a -\dfrac{1}{3}\) のときのみ）\(f(1) = 3a^2-4a+2 = 3 \left( a -\dfrac{2}{3} \right)^2 +\dfrac{2}{3}\)
（ただし, \(\dfrac{3a-1}{2} \leqq 1 \leqq \dfrac{3a+1}{2}\) すなわち \(\dfrac{1}{3} \leqq a \leqq 1\) のときのみ）\(f \left( \dfrac{3a-1}{2} \right) = \dfrac{3 a^2}{2} -a+\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \left( a -\dfrac{1}{3} \right)^2 +\dfrac{1}{3}\)
（ただし, \(-1 \leqq \dfrac{3a-1}{2} \leqq 1\) すなわち \(-\dfrac{1}{3} \leqq a \leqq 1\) のときのみ）\(f \left( \dfrac{3a+1}{2} \right) = \dfrac{3 a^2}{2} +a+\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \left( a +\dfrac{1}{3} \right)^2 +\dfrac{1}{3}\)
（ただし, \(-1 \leqq \dfrac{3a+1}{2} \leqq 1\) すなわち \(-1 \leqq a \leqq \dfrac{1}{3}\) のときのみ）
以上の候補の大小を比較すれば
\[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} a^2 \leqq b \leqq 3a^2+4a+2 & \left( -1 \leqq a \lt -\dfrac{1}{3} \ \text{のとき} \right) \\ a^2 \leqq b \leqq \dfrac{3 a^2}{2} +a+\dfrac{1}{2} & \left( -\dfrac{1}{3} \leqq a \lt 0 \ \text{のとき} \right) \\ a^2 \leqq b \leqq \dfrac{3 a^2}{2} -a+\dfrac{1}{2} & \left( 0 \leqq a \lt \dfrac{1}{3} \ \text{のとき} \right) \\ a^2 \leqq b \leqq 3a^2-4a+2 & \left( \dfrac{1}{3} \leqq a \leqq 1 \ \text{のとき} \right) \end{array} \right.} \]
(2)
(1) の結果より, 下図斜線部（境界含む）.
