以下の各問にそれぞれ答えよ.
問1. 定積分 \(\displaystyle\int _ 0^2 \dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}} \, dx\) を求めよ.
問2. \(1\) 歩で \(1\) 段または \(2\) 段のいずれかで階段を昇るとき, \(1\) 歩で \(2\) 段昇ることは連続しないものとする. \(15\) 段の階段を昇る昇り方は何通りあるか.
【 解 答 】
問1.
求める定積分を \(I\) とおくと \[ I = \underline{\displaystyle\int _ 0^2 \dfrac{( x^2+4 )'}{\sqrt{x^2+4}} \, dx} _ {[1]} +\underline{\displaystyle\int _ 0^2 \dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}} \, dx} _ {[2]} \] 下線部 [1] について \[\begin{align} [1] & = \left[ 2 \sqrt{x^2+4} \right] _ 0^2 \\ & = 4 \left( \sqrt{2} -1 \right) \end{align}\] 下線部 [2] について, \(x = 2 \tan \theta \ \left( -\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2} \right)\) とおくと \[\begin{gather} dx = \dfrac{2}{\cos^2 \theta} d \theta , \\ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & \rightarrow & 2 \\ \hline \theta & 0 & \rightarrow & \dfrac{\pi}{4} \end{array} \end{gather}\] なので \[\begin{align} [2] & = \displaystyle\int _ {0}^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{1}{2 \sqrt{\tan^2 \theta +1}} \cdot \dfrac{2}{\cos^2 \theta} \, d \theta \\ & = \displaystyle\int _ {0}^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{1}{\cos \theta} \, d \theta \\ & = \displaystyle\int _ {0}^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\cos \theta}{1 -\sin^2 \theta} \, d \theta \\ & = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int _ {0}^{\frac{\pi}{4}} \left\{ -\dfrac{( 1 -\sin \theta )'}{1 -\sin \theta} +\dfrac{( 1 +\sin \theta )'}{1 +\sin \theta} \right\} \, d \theta \\ & = \dfrac{1}{2} \left[ \log \left| \dfrac{1 +\sin \theta}{1 -\sin \theta} \right| \right] _ {0}^{\frac{\pi}{4}} \\ & = \dfrac{1}{2} \log \dfrac{\sqrt{2} +1}{\sqrt{2} -1} \\ & = \log \left( \sqrt{2} +1 \right) \end{align}\] 以上より \[ I = \underline{4 \left( \sqrt{2} -1 \right) +\log \left( \sqrt{2} +1 \right)} \]
問2.
\(n\) 段目に達する方法の数を \(c _ n\) とおき, そのうち, \(1\) 段昇って達する方法の数を \(a _ n\) , \(2\) 段昇って達する方法の数を \(b _ n\) とする. \[ c _ n = a _ n +b _ n \quad ... [1] \] \(2\) 段連続で昇ることはできないので, \(n \geqq 1\) について \[ a _ {n+1} = a _ n +b _ n , \ b _ {n+2} = a _ n \] したがって \[ a _ {n+3} = a _ {n+2} +a _ n \quad ... [2] \] また, [1] より \[ c _ {n+3} = a _ {n+2} +a _ {n+1} +a _ n \quad ... [3] \] \(a _ 1 = 1\) , \(a _ 2 = 1\) , \(a _ 3 = 2\) と[2]より \[ \begin{array}{c|cccccccccccccc} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\ \hline a _ n & 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 9 & 13 & 19 & 28 & 41 & 60 & 88 & 129 \end{array} \] よって, [3] より \[\begin{align} c _ {15} & = a _ {14} +a _ {13} +a _ {12} \\ & = 129 +88 +60 =\underline{277} \end{align}\]