\(f(x) = \dfrac{\log x}{x}\) とする. 以下の問に答えよ.
(1) \(y = f(x)\) のグラフの概形を次の点に注意して描け： \(f(x)\) の増減, グラフの凹凸, \(x \rightarrow +0\) , \(x \rightarrow \infty\) のときの \(f(x)\) の挙動.
(2) \(n\) を自然数とする. \(k = 1 , 2 , \cdots , n\) に対して \(x\) が \(e^{\frac{k-1}{n}} \leqq x \leqq e^{\frac{k}{n}}\) を動くときの \(f(x)\) の最大値を \(M _ k\) , 最小値を \(m _ k\) とし, \[\begin{align} A _ n & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n M _ k \left( e^{\frac{k}{n}} -e^{\frac{k-1}{n}} \right) \\ B _ n & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n m _ k \left( e^{\frac{k}{n}} -e^{\frac{k-1}{n}} \right) \end{align}\] とおく. \(A _ n , B _ n\) を求めよ.
(3) \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} A _ n , \ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} B _ n\) を求めよ.
(4) 各 \(n\) に対して \(B _ n \lt \displaystyle\int _ 1^e f(x) \, dx \lt A _ n\) であることを示せ.
【 解 答 】
(1)
\(f(x) =\dfrac{\log x}{x}\) の定義域は, \(x \gt 0\) .
\[\begin{align}
f'(x) & = \dfrac{\dfrac{1}{x} \cdot x -1 \cdot \log x}{x^2} = \dfrac{1 -\log x}{x^2} , \\
f''(x) & = \dfrac{-\dfrac{1}{x} \cdot x^2 -2x( 1-\log x )}{x^4} \\
& = \dfrac{2 \log x -3}{x^3}
\end{align}\]
\(f'(x)=0\) を解くと, \(x = e\) .
\(f''(x)=0\) を解くと, \(x = e^{\frac{3}{2}}\) .
\(t = \dfrac{1}{x}\) とおくと, \(x \rightarrow +0\) のとき, \(t \rightarrow +\infty\) なので
\[
f(x) = t \log \dfrac{1}{t} = -t \log t \rightarrow -\infty \quad ( \ t \rightarrow +\infty \text{のとき} )
\]
なので, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow +0} f(x) = -\infty\) .
\(X = \log x\) とおくと, \(x \rightarrow +\infty\) のとき, \(X \rightarrow +\infty\) なので
\[
f(x) = \dfrac{X}{e^X} \rightarrow 0 \quad ( \ X \rightarrow +\infty \text{のとき} )
\]
なので, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow +\infty} f(x) = 0\) .
以上より, \(f(x)\) の増減表は下のようになる.
\[
\begin{array}{c|ccccccc} x & (0) & \cdots & e & \cdots & e^{\frac{3}{2}} & \cdots & ( +\infty ) \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & & - & \\ \hline f''(x) & & - & & - & 0 & + & \\ \hline f(a) & (-\infty) & \nearrow (\cap) & \dfrac{1}{e} & \searrow (\cap) & \dfrac{3}{2 e^{\frac{3}{2}}} & \searrow (\cup) & ( 0 ) \end{array}
\]
ゆえに, \(y = f(x)\) のグラフの概形は下図のとおり.
(2)
\(1 \lt x \lt e\) において, \(f(x)\) は単調増加なので \[\begin{align} M _ k & = f \left( e^{\frac{k}{n}} \right) = \dfrac{k}{n} e^{-\frac{k}{n}} , \\ m _ k & = f \left( e^{\frac{k-1}{n}} \right) = \dfrac{k-1}{n} e^{-\frac{k-1}{n}} \end{align}\] したがって \[\begin{align} A _ n & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \dfrac{k}{n} e^{-\frac{k}{n}} \left( e^{\frac{k}{n}} -e^{\frac{k-1}{n}} \right) \\ & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \dfrac{k}{n} \left( 1 -e^{-\frac{1}{n}} \right) = \dfrac{n(n+1)}{2} \cdot \dfrac{1 -e^{-\frac{1}{n}}}{n} \\ & = \underline{\dfrac{n+1}{2} \left( 1 -e^{-\frac{1}{n}} \right)} , \\ B _ n & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \dfrac{k-1}{n} e^{-\frac{k-1}{n}} \left( e^{\frac{k}{n}} -e^{\frac{k-1}{n}} \right) \\ & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \dfrac{k-1}{n} \left( e^{\frac{1}{n}} -1 \right) = \dfrac{n(n-1)}{2} \cdot \dfrac{e^{\frac{1}{n}} -1}{n} \\ & = \underline{\dfrac{n-1}{2} \left( e^{\frac{1}{n}} -1 \right)} \end{align}\]
(3)
\(N=\dfrac{1}{n}\) とおくと, \(n \rightarrow \infty\) のとき, \(N \rightarrow 0\) . \[\begin{align} A _ n & = \dfrac{1+N}{2N} \left( 1 -e^{-N} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1 -e^{-N}}{N} +\dfrac{1 -e^{-N}}{2} \\ & \rightarrow \dfrac{1}{2} \left( e^{-0} \right) +\dfrac{1-1}{2} \quad ( \ N \rightarrow 0 \text{のとき} ) \\ & = \dfrac{1}{2} \end{align}\] また \[\begin{align} B _ n & = \dfrac{1-N}{2N} \left( e^{N} -1 \right) = -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1-e^{N}}{N} +\dfrac{e^{N}-1}{2} \\ & \rightarrow -\dfrac{1}{2} \left( e^{0} \right) +\dfrac{1-1}{2} \quad ( \ N \rightarrow 0 \text{のとき} ) \\ & = \dfrac{1}{2} \end{align}\] よって \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} A _ n = \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} B _ n = \underline{\dfrac{1}{2}} \]
(4)
\(1 \lt x \lt e\) において, \(f(x)\) は単調増加なので, \(e^{\frac{k-1}{n}} \leqq x \leqq e^{\frac{k}{n}} \ ( k = 1 , \cdots , n )\) に着目すれば \[ m _ k \left( e^{\frac{k}{n}} -e^{\frac{k-1}{n}} \right) \lt \displaystyle\int _ {e^{\frac{k-1}{n}}}^{e^{\frac{k}{n}}} f(x) \, dx \lt M _ k \left( e^{\frac{k}{n}} -e^{\frac{k-1}{n}} \right) \] これに \(k = 1 , \cdots , n\) を代入して, 辺々加えれば \[ B _ n \lt \displaystyle\int _ 1^e ! f(x) \, dx \lt A _ n \]