\(p\) を素数, \(n\) を \(0\) 以上の整数とする.
(1) \(m\) は整数で \(0 \leqq m \leqq n\) とする. \(1\) から \(p^{n+1}\) までの整数の中で, \(p^m\) で割り切れ \(p^{m+1}\) で割り切れないものの個数を求めよ.
(2) \(1\) から \(p^{n+1}\) までの \(2\) つの整数 \(x , y\) に対し, その積が \(p^{n+1}\) で割り切れるような組 \((x,y)\) の個数を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(p^{m}\) で割り切れる整数の個数は \[ \dfrac{p^{n+1}}{p^m} = p^{n-m+1} \] よって, 求める個数は \[ p^{n-m+1} -p^{n-(m+1)+1} =\underline{p^{n-m}(p-1)} \]
(2)
1* \(x = p^{n+1}\) のとき
\(y\) はどの整数でもよいので, \((x,y)\) の組の個数は \[ p^{n+1} \]2* \(x\) が \(p^{m}\) で割切れ \(p^{m+1}\) で割切れない（ \(0 \leqq m \leqq n\) ）とき
\(y\) が \(p^{n-m+1}\) で割切れればよいので, \((x,y)\) の組の個数 \(K _ m\) は, (1) の結果を用いて \[\begin{align} K _ m & = p^{n-m}(p-1) \cdot p^{n-(n-m+1)+1} \\ & = p^{n}(p-1) \end{align}\]
以上より, 求める個数は \[\begin{align} p^{n+1} +\textstyle\sum\limits _ {m=0}^n K _ m & = p^{n+1} + (n+1)p^{n}(p-1) \\ & = p^{n} \left\{ p +(n+1)(p-1) \right\} \\ & =\underline{p^{n} \left\{ (n+2)p -n-1 \right\}} \end{align}\]