正数 \(a\) に対して, 放物線 \(y = x^2\) 上の点 \(A \ (a,a^2)\) における接線を, \(A\) を中心に \(-30^{\circ}\) 回転した直線を \(\ell\) とする. \(\ell\) と \(y = x^2\) の交点で \(A\) でない方を \(B\) とする. さらに, 点 \((a,0)\) を \(C\) , 原点を \(O\) とする.
(1) \(\ell\) の式を求めよ.
(2) 線分 \(OC , CA\) と \(y = x^2\) で囲まれる部分の面積を \(S(a)\) , 線分 \(AB\) と \(y = x^2\) で囲まれる部分の面積を \(T(a)\) とする. このとき \[ \displaystyle\lim _ {a \rightarrow \infty} \dfrac{T(a)}{S(a)} \] を求めよ.
【 解 答 】
(1)
点 \(A\) における \(y = x^2\) の接線を \(m\) とし, \(m , \ell\) が \(x\) 軸正方向となす角をそれぞれ \(\theta _ {m} , \theta _ {\ell}\) とおく.
\(y = x^2\) より, \(y'=2x\) なので
\[
\tan \theta _ {m} = 2a
\]
条件より
\[\begin{align}
\tan \theta _ {\ell} & = \tan ( \theta _ {m} -30^{\circ} ) \\
& = \dfrac{\tan \theta _ {m} - \tan 30^{\circ}}{1 +\tan \theta _ {m} \tan 30^{\circ}} \\
& = \dfrac{2a -\frac{1}{\sqrt{3}}}{1 +2a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \\
& = \dfrac{2 \sqrt{3} a -1}{2a +\sqrt{3}}
\end{align}\]
よって, \(\ell\) の方程式は
\[
\underline{y = \dfrac{2 \sqrt{3} a -1}{2a +\sqrt{3}} (x-a) +a^2}
\]
(2)
\[ S(a) = \displaystyle\int _ 0^a x^2 \, dx = \left[ \dfrac{x^3}{3} \right] _ 0^a = \dfrac{a^3}{3} \]
(1) の結果と \(y = x^2\) より, \(y\) を消去して \[\begin{gather} \left( 2a +\sqrt{3} \right) x^2 = \left( 2 \sqrt{3} a -1 \right) (x-a) +\left( 2a +\sqrt{3} \right) a^2 \\ \left( 2a +\sqrt{3} \right) x^2 -\left( 2 \sqrt{3} a -1 \right) x -a \left( 2a^2 -\sqrt{3} a +1 \right) \\ \left\{ \left( 2a +\sqrt{3} \right) x +2a^2 -\sqrt{3} a +1 \right\} (x-a) = 0 \\ \text{∴} \quad x = a , \ -a -\sqrt{3} +\dfrac{4}{2a +\sqrt{3}} \end{gather}\] したがって \[\begin{align} T(a) & = \dfrac{1}{6} \left\{ a -\left( -a -\sqrt{3} +\dfrac{4}{2a +\sqrt{3}} \right) \right\}^3 \\ & = \dfrac{1}{6} \left( 2a -\sqrt{3} +\dfrac{4}{2a +\sqrt{3}} \right)^3 \end{align}\] よって \[\begin{align} \dfrac{T(a)}{S(a)} & = \dfrac{1}{2} \left\{ 2 -\dfrac{\sqrt{3}}{a} +\dfrac{4}{a \left( 2a +\sqrt{3} \right)} \right\}^3 \\ & \rightarrow \dfrac{1}{2} \cdot 2^3 = 4 \quad ( n \rightarrow \infty \text{のとき} ) \end{align}\] よって \[ \displaystyle\lim _ {a \rightarrow \infty} \dfrac{T(a)}{S(a)} = \underline{4} \]