\(n\) を自然数とする. 関数 \(y = \sqrt{x}\) のグラフを \(C\) とし, \(C\) 上の \(2\) 点 \(( n , \sqrt{n})\) と \(( n+1 , \sqrt{n+1})\) を通る直線を \(l\) とする. \(C\) と \(l\) で囲まれた部分を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積を \(V\) とする. このとき \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} n^a V = b\) を満たす正の数 \(a , b\) を求めよ.
【 解 答 】
\(C\) と \(l\) に囲まれた部分は上図斜線部のようになるので \[\begin{align} V & = \pi \displaystyle\int _ {n}^{n+1} \left( \sqrt{x} \right)^2 \, dx \\ & \qquad -\dfrac{\pi}{3} \left( \sqrt{n+1} \right)^2 \cdot \dfrac{1 \cdot \sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1} -\sqrt{n}} \cdot \left\{ 1 -\left( \dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} \right)^3 \right\} \\ & = \pi \left[ \dfrac{x^2}{2} \right] _ {n}^{n+1} -\dfrac{\pi}{3} \cdot \dfrac{\left( \sqrt{n+1} \right)^3 -\left( \sqrt{n} \right)^3}{\sqrt{n+1} -\sqrt{n}} \\ & = \dfrac{2n+1}{2} \pi -\dfrac{2n+1 + \sqrt{n(n+1)}}{3} \pi \\ & = \dfrac{\pi}{6} \left\{ 2n+1 -2 \sqrt{n(n+1)}\right\} \ . \end{align}\] したがって \[\begin{align} n^a V & = \dfrac{n^a \pi}{6} \cdot \dfrac{(2n+1)^2 -4 n(n+1)}{2n+1 +2 \sqrt{n(n+1)}} \\ & = \dfrac{n^{a-1} \pi}{6} \cdot \underline{\dfrac{1}{2 +\frac{1}{n} +2 \sqrt{1 +\frac{1}{n}}}} _ {[1]} \ . \end{align}\] ここで, 下線部 [1] について \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} [1] = \dfrac{1}{4} \ . \] なので, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} n^a V = b\) となるのは, \(n \rightarrow \infty\) のとき, \(n^{a-1}\) が正の値に収束するときである.
1* \(0 \lt a \lt 1\) のとき \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} n^{a-1} = 0 \ . \] なので, 不適.
2* \(a=1\) のとき \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} n^{a-1} = 1 \ . \] なので \[ b = \dfrac{\pi}{6} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{\pi}{24} \ . \]
3* \(a \gt 1\) のとき \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} n^{a-1} = \infty \ . \] なので, 不適.
よって \[ a = \underline{1} , \quad b = \underline{\dfrac{\pi}{24}} \ . \]