次の問いに答えよ.
(1) \(x\) が正の数のとき \(| \log x | \leqq \dfrac{|x-1|}{\sqrt{x}}\) を示せ.
(2) \(p , q , r\) が \(p+q+r = 1\) を満たす正の数のとき \[ p^2+q^2+r^2 \geqq \dfrac{1}{3} \] を示せ.
(3) \(a , b , c\) が相異なる正の数で, \(\sqrt{a} +\sqrt{b} +\sqrt{c} = 1\) を満たすとき \[ \dfrac{ab}{b-a} \log \dfrac{b}{a} +\dfrac{bc}{c-b} \log \dfrac{c}{b} +\dfrac{ca}{a-c} \log \dfrac{a}{c} \leqq \dfrac{1}{3} \] を示せ.
【 解 答 】
(1)
1* \(x \geqq 1\) のとき
\(f(x) = \sqrt{x} -\dfrac{1}{\sqrt{x}} -\log x\) とおくと \[\begin{align} f'(x) & = \dfrac{1}{2 \sqrt{x}} +\dfrac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} -\dfrac{1}{x} \\ & = \dfrac{x -2\sqrt{x} +1}{2 x^{\frac{3}{2}}} \\ & = \dfrac{\left( 1 -\sqrt{x} \right)^2}{2 x^{\frac{3}{2}}} \geqq 0 \ . \end{align}\] したがって, \(f(x)\) は \(x \geqq 1\) において単調増加であり \[\begin{align} f(x) & \geqq f(1) = 0 \\ \text{∴} \quad \sqrt{x} -\dfrac{1}{\sqrt{x}} & -\log x \geqq 0 \\ \text{∴} \quad \log x & \leqq \dfrac{x-1}{\sqrt{x}} \ . \end{align}\] \(\log x \geqq 0\) , \(x-1 \geqq 0\) なので \[ \left| \log x \right| \leqq \dfrac{| x-1 |}{\sqrt{x}} \ . \]2* \(0 \lt x \lt 1\) のとき
\(x= \dfrac{1}{t}\) とおくと, \(t \gt 1\) なので 1* のときの結果より \[ \left| \log t \right| \leqq \dfrac{| t-1 |}{\sqrt{t}} \ . \] \(t =\dfrac{1}{x}\) を代入すると \[\begin{align} \left| \log \dfrac{1}{x} \right| & \leqq \dfrac{\left| \frac{1}{x}-1 \right|}{\sqrt{\frac{1}{x}}} \\ \left| -\log x \right| & \leqq \dfrac{| 1-x |}{\sqrt{x}} \\ \text{∴} \quad \left| \log x \right| & \leqq \dfrac{| x-1 |}{\sqrt{x}} \ . \end{align}\] 以上より, すべての正の実数 \(x\) について \[ \left| \log x \right| \leqq \dfrac{| x-1 |}{\sqrt{x}} \ . \]
(2)
\[\begin{align} ( 1^2 +1^2 +1^2 )( p^2 +q^2 +r^2 ) & \geqq ( 1 \cdot p +1 \cdot q +1 \cdot r )^2 \\ & = 1^2 = 1 \quad ( \ \text{∵} \ p+q+r = 1 ) \\ \text{∴} \quad p^2 +q^2 +r^2 & \geqq \dfrac{1}{3} \ . \end{align}\] 等号成立は, \(\dfrac{p}{1} = \dfrac{q}{1} = \dfrac{r}{1}\) すなわち \(p = q = r = \dfrac{1}{3}\) のとき.
(3)
(1) の結果に対して, \(x = \dfrac{b}{a} \gt 0\) を代入すると
\[\begin{align}
\left| \log \dfrac{b}{a} \right| & \leqq \dfrac{\left| \frac{b}{a} -1 \right|}{\sqrt{\frac{b}{a}}} \\
\left| \log \dfrac{b}{a} \right| & \leqq \dfrac{|b-a|}{\sqrt{ab}} \\
\left| \dfrac{ab}{b-a} \log \dfrac{b}{a} \right| & \leqq \sqrt{ab} \quad ... [1] \ .
\end{align}\]
ここで, \(b-a\) と \(\log \dfrac{b}{a}\) の正負は一致するので
\[
\dfrac{ab}{b-a} \log \dfrac{b}{a} \geqq 0 \ .
\]
なので, [1] より
\[
\dfrac{ab}{b-a} \log \dfrac{b}{a} \leqq \sqrt{ab} \quad ... [2] \ .
\]
等号成立は, \(a = b\) のとき.
\(x = \dfrac{c}{b} , \ \dfrac{a}{c}\) についても同様に考えれば
\[\begin{align}
\dfrac{bc}{c-b} \log \dfrac{c}{b} & \leqq \sqrt{bc} \quad ... [3] , \\
\dfrac{ca}{a-c} \log \dfrac{a}{c} & \leqq \sqrt{ca} \quad ... [4] \ .
\end{align}\]
[2] ～ [4] の辺々を加えると
\[\begin{align}
\dfrac{ab}{b-a} \log \dfrac{b}{a} +\dfrac{bc}{c-b} \log \dfrac{c}{b} & +\dfrac{ca}{a-c} \log \dfrac{a}{c} \\
& \leqq \sqrt{ab} +\sqrt{bc} +\sqrt{ca} \quad ... [5] \ .
\end{align}\]
等号成立は \(a = b = c\) のとき.
さらに, \(\sqrt{a} +\sqrt{b} +\sqrt{c} = 1\) と (2) の結果より
\[
a+b+c \geqq \dfrac{1}{3} \ .
\]
なので
\[\begin{align}
\sqrt{ab} +\sqrt{bc} +\sqrt{ca} & = \dfrac{\left( \sqrt{a} +\sqrt{b} +\sqrt{c} \right)^2 -(a+b+c)}{2} \\
& = \dfrac{1 -(a+b+c)}{2} \\
& \leqq \dfrac{1 -\frac{1}{3}}{2} =\dfrac{1}{3} \quad ... [6] \ .
\end{align}\]
等号成立は, \(a = b = c\) のとき.
よって, [5] [6] より
\[
\dfrac{ab}{b-a} \log \dfrac{b}{a} +\dfrac{bc}{c-b} \log \dfrac{c}{b} +\dfrac{ca}{a-c} \log \dfrac{a}{c} \leqq \dfrac{1}{3} \ .
\]