\(xy\) 平面において, 原点 O を通る半径 \(r \ ( r \gt 0 )\) の円を \(C\) とし, その中心を A とする. O を除く \(C\) 上の点 P に対し, 次の \(2\) つの条件 (a) , (b) で定まる点 Q を考える.
(a) \(\overrightarrow{\text{OP}}\) と \(\overrightarrow{\text{OQ}}\) の向きが同じ.
(b) \(\left| \overrightarrow{\text{OP}} \right| \left| \overrightarrow{\text{OQ}} \right| = 1\)
以下の問いに答えよ.
(1) 点 P が O を除く \(C\) 上を動くとき, 点 Q は \(\overrightarrow{\text{OA}}\) に直交する直線上を動くことを示せ.
(2) (1) の直線を \(l\) とする. \(l\) が \(C\) と \(2\) 点で交わるとき, \(r\) のとりうる値の範囲を求めよ.
【 解 答 】
(1)
条件 (a) (b) より \[\begin{align} \overrightarrow{\text{OQ}} & = \dfrac{\overrightarrow{\text{OP}}}{\left| \overrightarrow{\text{OP}} \right|^2} \\ \text{∴} \quad \overrightarrow{\text{OP}} & = \left| \overrightarrow{\text{OP}} \right|^2 \overrightarrow{\text{OQ}} \quad ... [1] \ . \end{align}\] また, P は円 \(C\) 上の点なので \[ \overrightarrow{\text{OP}} \cdot \left( \overrightarrow{\text{OP}} -2 \overrightarrow{\text{OA}} \right) = 0 \ . \] [1] を代入すれば \[\begin{align} \left| \overrightarrow{\text{OP}} \right|^2 \overrightarrow{\text{OQ}} \cdot \left( \left| \overrightarrow{\text{OP}} \right|^2 \overrightarrow{\text{OQ}}-2 \overrightarrow{\text{OA}} \right) & = 0 \\ 2 \overrightarrow{\text{OQ}} \cdot \overrightarrow{\text{OA}} & = \left| \overrightarrow{\text{OP}} \right|^2 \left| \overrightarrow{\text{OQ}} \right|^2 \\ \text{∴} \quad \overrightarrow{\text{OQ}} \cdot \overrightarrow{\text{OA}} & = \dfrac{1}{2} \ . \end{align}\] したがって, \(\overrightarrow{\text{OR}} = \dfrac{1}{2r^2} \overrightarrow{\text{OA}}\) をみたす直線 OA 上の点 R をおけば \[\begin{align} \overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{RQ}} = \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\left| \overrightarrow{\text{OA}} \right|^2}{2 r^2} = 0 \\ \text{∴} \quad \text{OA} & \perp \text{RQ} \ . \end{align}\] よって, 点 Q は OA に垂直な直線上を動く.
(2) \[ \left| \overrightarrow{\text{OR}} \right| = \dfrac{1}{2r^2} \cdot r = \dfrac{1}{2r} \ . \] なので, 求める条件は OR の長さと \(C\) の直径を比較して \[\begin{align} \dfrac{1}{2r} & \lt 2r \\ r^2 & \gt \dfrac{1}{4} \\ \text{∴} \quad & \underline{r \gt \dfrac{1}{2}} \quad ( \ \text{∵} \ r \gt 0 ) \ . \end{align}\]