以下の各問いに答えよ.
(1) 底面の半径が \(r\) , 高さが \(h\) の直円錐の側面積を \(r\) と \(h\) を用いて表せ.
(2) 座標平面上の \(4\) 点 A \(\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} , 1 \right)\) , B \(\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} , \dfrac{3}{2} \right)\) , E \(\left( 0 , \dfrac{3}{2} \right)\) , F \(( 0 , 1 )\) を考える. 四角形 ABEF を \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる回転体の表面積を求めよ.
(3) 座標平面上の曲線 \[ C : \ x^2+y^2 = 3 \quad ( 0 \lt x \lt \sqrt{2} , \ 1 \lt y \lt \sqrt{3} ) \] の上の点 Q を考える. 点 Q と同じ \(y\) 座標を持つ \(y\) 軸上の点を H とし, 原点 O と点 Q を結ぶ線分 OQ が直線 \(y = 1\) と交わる点を P とする. さらに点 F \(( 0 , 1 )\) をとる. 四角形 PQHF を \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる回転体の面のうち, 線分 PQ が \(1\) 回転してできる面の表面積を \(S\) とする. 点 Q が曲線 \(C\) 上を動くとき \(S\) の最大値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
側面の扇形は, 半径が \(\sqrt{r^2+h^2}\) , 弧の長さが \(2 \pi r\) なので, 側面積は \[ \dfrac{1}{2} \sqrt{r^2+h^2} \cdot 2 \pi r = \underline{\pi r \sqrt{r^2+h^2}} \ . \]
(2)
回転体は円錐台となる.
上面は辺 AF が作る円となり, その面積は
\[
\pi \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)^2 = \dfrac{\pi}{3} \ .
\]
底面は辺 BE が作る円となり, その面積は
\[
\pi \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \dfrac{3 \pi}{4} \ .
\]
側面は辺 OB が作る扇形から辺 OA が作る扇形を除いた形となり, その面積は (1) の結果を用いて
\[\begin{align}
\pi \cdot & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\left( \dfrac{3}{2} \right)^2 +\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} -\pi \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{1^2 +\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)^2} \\
& =\dfrac{3 \pi}{2} -\dfrac{2 \pi}{3} \\
& =\dfrac{5 \pi}{6} \ .
\end{align}\]
以上より, 求める面積は
\[
\dfrac{\pi}{3} +\dfrac{3 \pi}{4} +\dfrac{5 \pi}{6} = \underline{\dfrac{23 \pi}{12}} \ .
\]
(3)
Q \(\left( \sqrt{3-t^2} , t \right) \ ( 1 \lt t \lt \sqrt{3} )\) とおくと, P \(\left( \dfrac{\sqrt{3-t^2}}{t} , 1 \right)\) と表せる. \[ \text{OQ} = \sqrt{3} , \ \text{OP} = \dfrac{\sqrt{3}}{t} \] と, (1) の結果を用いれば \[\begin{align} S & = \pi \sqrt{3-t^2} \cdot \sqrt{3} -\pi \cdot \dfrac{\sqrt{3-t^2}}{t} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{t} \\ & = \sqrt{3} \pi \cdot \dfrac{\left( t^2-1 \right) \sqrt{3-t^2}}{t^2} \ . \end{align}\] \(s = \sqrt{3-t^2}\) とおくと, \(0 \lt s \lt \sqrt{2} \quad ... [1]\) であり \[ S = \sqrt{3} \pi \cdot \underline{\dfrac{\left( 2-s^2 \right) s}{3-s^2}} _ {[2]} \ . \] 下線部 [2] を \(f(s)\) とおけば \[\begin{align} f'(s) & = \dfrac{( 2-3s^2 )(3-s^2) +2s^2 (2-s^2)}{(3-s^2)^2} \\ & = \dfrac{s^4 -7s^2 +6}{(3-s^2)^2} \\ & = \dfrac{(6-s^2)(1-s^2)}{(3-s^2)^2} \ . \end{align}\] [1] の範囲で \(f'(s) = 0\) をとくと \[\begin{align} s^2 & = 1 , 6 \\ \text{∴} \quad s & = 1 \ . \end{align}\] したがって, \(f(s)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccc} s & (0) & \cdots & 1 & \cdots & ( \sqrt{2} )\\ \hline f'(s) & & + & 0 & - & \\ \hline f(s) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array} \] よって, \(S\) の最大値は, \(s = 1\) すなわち \(t = \sqrt{2}\) のとき \[ \sqrt{3} \pi \cdot f(1) = \underline{\dfrac{\sqrt{3} \pi}{2}} \ . \]