複素数 \(\alpha , \beta \ ( \alpha , \beta \neq 0 )\) に対して, \(p _ 1 = 3\) を初項とする数列 \(\{ p _ n \}\) を \[ p _ n = 1 +\alpha^{n-1} +\beta^{n-1} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] で定める. 以下の問に答えよ.

1. (1)　\(p _ 2 \neq 0\) , \(p _ 4 \neq 0\) のどちらかが成立することを示せ.

2. (2)　数列 \(\{ p _ n \}\) がさらに次の条件をみたすとする.

   1. (＊)　隣接する \(2\) 項の積はすべて \(0\) となる. すなわち \[ p _ n p _ {n+1} = 0 \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \]

   このとき \(\alpha , \beta\) および \(p _ n\) の値を求めよ.

【 解 答 】

(1)

対偶をとって

1. [A] ... 「 \(p _ 2 = 0\) かつ \(p _ 4 = 0\) ならば, \(\alpha = 0\) または \(\beta = 0\) 」

を示せばよい. \[\begin{align} p _ 2 & = 1 +\alpha +\beta = 0 \quad ... [1] , \\ p _ 4 & = 1 +{\alpha}^3 +{\beta}^3 = 0 \quad ... [2] \end{align}\] [1] より \[ \alpha +\beta = -1 \] [2] より \[\begin{align} ( \alpha +\beta )^3 -3 \alpha \beta ( \alpha +\beta ) & = -1 \\ -1 +3 \alpha \beta & = -1 \\ \text{∴} \quad \alpha \beta & = 0 \end{align}\] よって, [A] は示され, 題意も示された.

(2)

\(p _ 1 = 3\) なので, 条件 (＊) より \[ p _ 2 = 1 +\alpha +\beta = 0 \quad ... [3] \] なので, (1) の結果より \[ p _ 4 \neq 0 \] さらに, 条件 (＊) から \[ p _ 3 = 1 +{\alpha}^2 +{\beta}^2 = 0 \quad ... [4] \] [3] より \[ \beta = -( 1 +\alpha ) \] [4] に代入すると \[\begin{align} 1 +{\alpha}^2 +( 1 +\alpha )^2 & = 0 \\ {\alpha}^2 +\alpha +1 & = 0 \quad ... [5] \\ \text{∴} \quad \alpha & = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2} \end{align}\] なので \[\begin{align} \beta & = -\left( 1 +\dfrac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2} \right) \\ & = \dfrac{-1 \mp \sqrt{3} i}{2} \end{align}\] よって \[ ( \alpha , \beta ) = \underline{\left( \dfrac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2} , \dfrac{-1 \mp \sqrt{3} i}{2} \right) \quad ( \text{複号同順} )} \] ここで, \(1\) の \(3\) 乗根 \(\omega = \dfrac{-1 +\sqrt{3} i}{2}\) とおけば \[ ( \alpha , \beta ) = ( \omega , {\omega}^2 ) , ( {\omega}^2 , \omega ) \] したがって \[ p _ n = 1 +{\omega}^{n-1} +{\omega}^{2(n-1)} \] ここで \(k\) を \(0\) 以上の整数として

• \(n = 3k\) のとき \[\begin{align} p _ n & = 1 +{\omega}^{3k-1} +{\omega}^{2(3k-1)} \\ & = 1 +{\omega}^2 +\omega = 0 \end{align}\]

• \(n = 3k+1\) のとき \[ p _ n = 1 +{\omega}^{3k} +{\omega}^{6k} = 3 \]

• \(n = 3k+2\) のとき \[\begin{align} p _ n & = 1 +{\omega}^{3k+1} +{\omega}^{2(3k+1)} \\ & = 1 +\omega +{\omega}^2 = 0 \end{align}\]

よって \[ p _ n = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 3 & \left( \ n = 3k+1 \text{のとき} \right) \\ 0 & \left( \ n = 3k , 3k+2 \text{のとき} \right) \end{array} \right.} \]