曲線 \(y = e^{-x}\) と \(y = e^{-x} \left| \cos x \right|\) で囲まれた図形のうち, \((n-1) \pi \leqq x \leqq n \pi\) をみたす部分の面積を \(a _ n\) とする（ \(n = 1, 2, 3, \cdots\) ）. 以下の問に答えよ.
(1) \(\displaystyle\int e^{-x} \cos x \, dx = e^{-x} \left( p \sin x +q \cos x \right) +C\) をみたす定数 \(p , q\) を求めよ. ただし, \(C\) は積分定数である.
(2) \(a _ 1\) の値を求めよ.
(3) \(a _ n\) の値を求めよ.
(4) \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( a _ 1 +a _ 2 + \cdots + a _ n \right)\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
部分積分を繰り返し用いれば \[\begin{align} \displaystyle\int e^{-x} \cos x \, dx & = e^{-x} \sin x +\displaystyle\int e^{-x} \sin x \, dx \\ & = e^{-x} \sin x -e^{-x} \cos x -\displaystyle\int e^{-x} \cos x \, dx \\ \text{∴} \quad \displaystyle\int e^{-x} \cos x \, dx & = \dfrac{e^{-x}}{2} \left( \sin x -\cos x \right) +C \quad ( \ C \text{は積分定数} ) \end{align}\] よって \[ p = \underline{\dfrac{1}{2}} , \ q = \underline{-\dfrac{1}{2}} \]
(2)
\(F(x) = \dfrac{e^{-x}}{2} \left( \sin x -\cos x \right)\) とおいて, (1) の結果を用いれば \[\begin{align} a _ 1 & = \displaystyle\int _ 0^{\pi} e^{-x} \left( 1 -\left| \cos x \right| \right) \, dx \\ & = \displaystyle\int _ 0^{\pi} e^{-x} \, dx -\displaystyle\int _ 0^{\frac{\pi}{2}} e^{-x} \cos x \, dx +\displaystyle\int _ {\frac{\pi}{2}}^{\pi} e^{-x} \cos x \, dx \\ & = \left[ -e^{-x} \right] _ 0^{\pi} +F(0) +F( \pi ) -2 F \left( \dfrac{\pi}{2} \right) \\ & = 1 -e^{-\pi} -\dfrac{1}{2} +\dfrac{e^{-\pi}}{2} -e^{-\frac{\pi}{2}} \\ & = \underline{\dfrac{e^{\pi} -2 e^{\frac{\pi}{2}} -1}{2 e^{\pi}}} \end{align}\]
(3)
\(y = \left| \cos x \right|\) は周期 \(\pi\) の周期関数なので \[ a _ {n+1} = \displaystyle\int _ {n \pi}^{(n+1) \pi} e^{-x} \left( 1 -\left| \cos x \right| \right) \, dx \] に対して, \(u = x -\pi\) とおくと, \(du = dx\) で \[ \begin{array}{c|ccc} x & n \pi & \rightarrow & (n+1) \pi \\ \hline u & (n-1) \pi & \rightarrow & n \pi \end{array} \] なので \[\begin{align} a _ {n+!} & = \displaystyle\int _ {(n-1) \pi}^{n \pi} e^{-( u +\pi )} \left\{ 1 -\left| \cos ( u +\pi ) \right| \right\} \, du \\ & = e^{-\pi} \displaystyle\int _ {(n-1) \pi}^{n \pi} e^{-u} \left( 1 -\left| \cos u \right| \right) \, du \\ & = e^{-\pi} a _ n \end{align}\] よって, 数列 \(\{ a _ n \}\) は初項 \(a _ 1 = \dfrac{e^{\pi} -2 e^{\frac{\pi}{2}} -1}{2 e^{\pi}}\) , 公比 \(e^{-\pi}\) の等比数列なので \[\begin{align} a _ n & = \dfrac{e^{\pi} -2 e^{\frac{\pi}{2}} -1}{2 e^{\pi}} \cdot e^{-(n-1) \pi} \\ & = \underline{\dfrac{e^{\pi} -2 e^{\frac{\pi}{2}} -1}{2 e^{n \pi}}} \end{align}\]
(4)
(3) の結果より \[\begin{align} \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( a _ 1 +a _ 2 + \cdots + a _ n \right) & = \dfrac{e^{\pi} -2 e^{\frac{\pi}{2}} -1}{2 e^{\pi}} \cdot \dfrac{1}{1 -e^{-\pi}} \\ & = \underline{\dfrac{e^{\pi} -2 e^{\frac{\pi}{2}} -1}{2 \left( e^{\pi} -1 \right)}} \end{align}\]