\(n\) を正の整数とするとき, 以下の問に答えよ.

1. (1)　\(k\) を正の整数とする. 関数 \((1-x)^n x^k\) の \(0 \leqq x \leqq 1\) における最大値を \(a _ n\) とする. \(a _ n\) および \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} a _ n\) を求めよ.

2. (2)　\(f(x) , g(x)\) を \(0 \leqq x \leqq 1\) において定められた連続関数とする. 関数 \((1-x)^n f(x)\) , \((1-x)^n g(x)\) , \((1-x)^n \left\{ f(x) +g(x) \right\}\) の \(0 \leqq x \leqq 1\) における最大値をそれぞれ \(b _ n , c _ n , d _ n\) とする. このとき, \(0 , b _ n +c _ n , d _ n\) の大小を \[ \square \leqq \square \leqq \square \] の形式で答え, その理由を述べよ.

3. (3)　\(p , q , r \geqq 0\) を定数, \(f(x) = px^2+qx+r\) とし, 関数 \((1-x)^n f(x)\) の \(0\leq x \leqq 1\) における最大値を \(e _ n\) とする. \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} e _ n\) を求めよ.

【 解 答 】

(1)

\(y = (1-x)^n x^k\) とおけば \[\begin{align} y' & = -n (1-x)^{n-1} x^k +k (1-x)^n x^{k-1} \\ & = -\left\{ (n+k) x -k \right\} (1-x)^{n-1} x^{k-1} \end{align}\] \(0 \lt x \lt 1\) の範囲で \(y'=0\) をとくと \[ x = \dfrac{k}{n+k} \] したがって, \(0 \leqq x \leqq 1\) における \(y\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \cdots & \dfrac{k}{n+k} & \cdots & 1 \\ \hline y' & & + & 0 & - & \\ \hline y & 0 & \nearrow & \text{最大} & \searrow & 0 \end{array} \] よって \[\begin{align} a _ n & = \left( 1 -\dfrac{k}{n+k} \right)^n \left( \dfrac{k}{n+k} \right)^k \\ & = \underline{\dfrac{k^n n^k}{(n+k)^{n+k}}} \end{align}\] また \[\begin{align} a _ n & = \dfrac{1}{\left( 1 +\frac{k}{n} \right)^{\frac{n}{k} \cdot k}} \left( \dfrac{k}{n+k} \right)^k \\ & \rightarrow \dfrac{1}{e^k} \cdot 0 = 0 \quad ( \ n \rightarrow \infty \text{のとき} ) \end{align}\] よって \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} a _ n = \underline{0} \]

(2)

\(u(x) = (1-x)^n f(x)\) , \(v(x) = (1-x)^n g(x)\) , \(w(x) = u(x) +v(x)\) とおく.
\(0 \leqq x \leqq 1\) において \(f(x) , g(x)\) が定義できるので \[ u(1) = v(1) = w(1) = 0 \] したがって \[ d _ n \geqq 0 \] また, \(u(x) , v(x) , w(x)\) が, それぞれ \(x = b , c , d\) のときに最大値をとるとすれば \[\begin{align} b _ n +c _ n & = u(b) +v(c) \\ & \geqq u(d) +v(d) \\ & = w(d) = d _ n \end{align}\] よって \[ \underline{0 \leqq d _ n \leqq b _ n +c _ n} \]

(3)

\(r (1-x)^n\) は, \(0 \leqq x \leqq 1\) において, \(x=0\) のときに, 最大値 \(r\) をとる. （ \(n\) の値によらない. ）
また, \(u(x) = px^2 (1-x)^n\) , \(v(x) = px (1-x)^n\) とみなして, \(u _ (x) , v(x) , u(x) +v(x)\) の \(0 \leqq x \leqq 1\) における最大値を \(b _ n , c _ n , d _ n\) と表せば, (2) の結果より \[ 0 \leqq d _ n \leqq b _ n +c _ n \] (1) の結果より \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} b _ n = \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} c _ n = 0 \] なので, はさみうちの原理より \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} d _ n = 0 \] よって \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} e _ n = \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( d _ n +r \right) = \underline{r} \]