\(xy\) 平面上に \(2\) 定点 A \((1,0)\) と O \((0,0)\) をとる. また, \(m\) を \(1\) より大きい実数とする.
(1) \(\text{AP} : \text{OP} = m : 1\) を満たす点 P \((x,y)\) の軌跡を求めよ.
(2) 点 A を通る直線で, (1) で求めた軌跡との共有点が \(1\) 個のものを求めよ. また, その共有点の座標も求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(\text{AP}^2 = m^2 \text{OP}^2\) なので \[\begin{align} (x-1)^2 +y^2 & = m^2 \left( x^2+y^2 \right) \\ x^2 +\dfrac{2x}{m^2-1} +y^2 & = \dfrac{1}{m^2-1} \\ \left( x +\dfrac{1}{m^2-1} \right)^2 +y^2 & = \dfrac{1}{m^2-1} +\dfrac{1}{(m^2-1)^2} \\ \text{∴} \quad \left( x +\dfrac{1}{m^2-1} \right)^2 +y^2 & = \left( \dfrac{m}{m^2-1} \right)^2 \end{align}\] よって点 P の軌跡は \[ \underline{\text{円} : \ \left( x +\dfrac{1}{m^2-1} \right)^2 +y^2 = \left( \dfrac{m}{m^2-1} \right)^2} \]
(2)
点 A を通る直線を \(\ell : \ y = k(x-1)\) とおくと, \(\ell\) は点 P の軌跡である円と接するので \[\begin{align} \dfrac{\left| -\frac{k}{m^2-1} -0 -k \right|}{\sqrt{k^2+1}} & = \dfrac{m}{m^2-1} \\ km & = \sqrt{k^2+1} \\ k^2 m^2 & = k^2+1 \\ \text{∴} \quad k & = \pm \dfrac{1}{\sqrt{m^2-1}} \end{align}\] よって, 求める直線の式は \[ \underline{y = \pm \dfrac{x-1}{\sqrt{m^2-1}}} \] 共有点の座標を \((X,Y)\) とおけば \[ Y = \pm \dfrac{X-1}{\sqrt{m^2-1}} \quad ... [1] \] また, 円の中心と接点を結ぶ線分は傾きが \(\mp \sqrt{m^2-1}\) なので \[ Y = \mp \sqrt{m^2-1} \left( X +\dfrac{1}{m^2-1} \right) \quad ... [2] \] [1] [2] より \[\begin{align} \pm \dfrac{X-1}{\sqrt{m^2-1}} & = \mp \sqrt{m^2-1} \left( X +\dfrac{1}{m^2-1} \right) \\ X-1 & = -(m^2-1) X -1 \\ \text{∴} \quad X & = 0 \end{align}\] したがって, [1] に代入して \[ Y = \mp \dfrac{1}{\sqrt{m^2-1}} \] よって, 共有点の座標は \[ \underline{\left( 0 , \mp \dfrac{1}{\sqrt{m^2-1}} \right)} \]